Правилен многуаголник

Правилен многуаголник — прост многуаголник (многуаголник кој никаде не се сече сам со себе) кој е рамноаголен (сите агли му се исти) и рамностран (сите рабови се со иста должина).

Правилен многуаголник

Рабови и темиња	${\displaystyle n}$
Шлефлиев симбол	${\displaystyle \{n\}}$
Коксетер–Динкинов дијаграм
Група на симетрија	Dn, ред 2n
Дуален многуаголник	самодуален
Плоштина (со страна долга ${\displaystyle s}$)	${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Внатр. агол	${\displaystyle (n-2)\times {\frac {\pi }{n}}}$
Збир од внатр. агли	${\displaystyle \left(n-2\right)\times {\pi }}$
Полупреч. на впиш. кружница	${\displaystyle d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Полупреч. на опиш. кружница	${\displaystyle d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Својства	испакнат, рамностран, изогонален, изотоксален

Сите правилни многуаголници со ист број на рабови (или „страни“ во планиметријата) се слични.

• Правилен двоаголник: „двојна отсечка“
• Рамностран триаголник (3 раба)
• Квадрат (4 раба)
• Правилен петаголник (5 раба)
• Правилен шестаголник (6 раба)
• Правилен седумаголник (7 раба)
• Правилен осумаголник (8 раба)
• Правилен десетаголник (10 раба)
• Правилен дванаесетаголник (12 раба)

Во извесни случаи сите овие полиаголници би се сметале за неправилни. Во такви случаи се испушта претставката правилен. На пример сите рабови на еден еднообразен полиедар мора да бидат правилни и рабовите едноставно би се опишале како триаголник, квадрат, петаголник.

Својства

Секој агол на еден правилен n-аголник има мерка од ${\displaystyle (1-{\frac {2}{n}})\times 180}$ (или подеднакво, на ${\displaystyle (n-2)\times {\frac {180}{n}}}$) степени.

Алтернативно, внатрешниот агол/агли на правилен n-аголник е ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ радијани (или ${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$ вртења).

Сите вертикали на правилен многуаголник лежат на заедничка кружница, т.е. тие се сокружни точки, каде секој правилен многуаголник има опишана кружница.

Правилен n-аголник може да се нацрта со шестар и линијар ако и само ако непарните прости фактори на n се засебни Ферминови броеви. Видете конструктибилен многуаголник.

За ${\displaystyle n>2}$ бројот на дијагонали е ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$, т.е., 0, 2, 5, 9, ... Тие го делат многуаголникот на 1, 4, 11, 24, ... делови.

Плоштина

Апотема на шестаголник

Правилни испакнати и ѕвездести многуаголници со 3 до 12 темиња, означени со нивните Шлефлиеви симболи.

Плоштината на правилен n-аголник е

${\displaystyle A={\frac {nt^{2}}{4\tan(\pi /n)}}}$

каде t е должината на работ. Исто така плоштината е полуобиколка помножена по должината на апотемата (линијата од средината на многуаголникот нормален на работ)A=1/2Pa.

За t=1 имаме

${\displaystyle {\frac {n}{4}}\cot(\pi /n)}$

со следниве вредности:

Рабови	Назив	Точна плоштина	Приближна плоштина
3	рамностран триаголник	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}}$	0,433
4	квадрат	1	1,000
5	правилен петаголник	${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1,720
6	правилен шестаголник	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2,598
7	правилен седумаголник		3,634
8	правилен осумаголник	${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4,828
9	правилен деветаголник		6,182
10	правилен десетаголник	${\displaystyle {\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7,694
11	правилен единаесетаголник		9,366
12	правилен дванаесетаголник	${\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11,196
13	правилен тринаесетаголник		13,186
14	правилен четиринаесетаголник		15,335
15	правилен петнаесетаголник		17,642
16	правилен шеснаесетаголник		20,109
17	правилен седумнаесетаголник		22,735
18	правилен осумнаесетаголник		25,521
19	правилен деветнаесетаголник		28,465
20	правилен дваесетаголник		31,569
100	правилен стоаголник		795,513
1000	правилен илјадааголник		79577,210
10000	правилен десет илјадааголник		7957746,893

Плоштините се помали од оние кај кружници со иста обиколка, и се (заокружени) еднакви на 0,26, а за n<8 малку повеќе (броевите се намалуваат со зголемувањето на n до границата π/12).

Симетрија

Групата на симетрија на правилен n-аголник е диедарска група D_n (од ред 2n): D₂, D₃, D₄,... Се состои од ротациите во C_n (постои вртежна симетрија на ред n), заедно со рефлективна симетрија во n оските кои минуваат низ центарот. Акоn е макар и тогаш половина од оските поминуваат низ спротивните вертикали, а другата половина низ средишната точка на спротивните рабови. Ако n е непарен, тогаш сите оски минуваат низ врвот и средишната точка на спротивниот раб.

Ѕвездести правилни многуаголници

Пентаграм

Во проширената категорија на правилни многуаголници спаѓаат ѕвезди, како на пример пентаграмот, кој ги има истите вертикали како и петаголникот, но сврзува наизменични вертикали.

Примери

• Пентаграм — {5/2}
• Хептаграм — {7/2}, {7/3}
• Октаграм — {8/3}
• Енеаграм — {9/2}, {9/4}
• Декаграм — {10/3}

Полиедар

Еднообразен полиедар е полиедар со правилни многуаголници како рабови, така што за секои две вертикали има меѓусебно изометрично пресликување.

Поврзано

• Многуаголник
• Рамностран многуаголник

Надворешни врски

• „Правилен многуаголник“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Опис на правилни многуаголници со интерактивна анимација (англиски)
• Впишување на празилен многуаголник со интерактивна анимација (англиски)
• Плоштина на правилен многуаголник Три различни формули, со интерактивна анимација (англиски)