Сфероид

Сфероид или вртежен елипсоид е површина од втор ред (квадрична површина) добиена со ротација на елипса околу нејзината оска, т.е. елипсоид со два еднакви полупречника.

сплеснат сфероид	издолжен сфероид

Ако елипсата ја ротираме околу нејзината голема оска, добиваме издолжен (пролатен) сфероид, како топка за рагби. Ако елипсата ја ротираме околу малата оска, добиваме сплеснат (облатен) сфероид, како леќа. Ако појдовната елипса е кружница, добиваме сфера.

Поради гравитацијата и ротацијата (вртењето), Земјата има облик на сфера што е малку сплесната кон оската. Затоа во картографијата Земјата се претставува како сплеснат сфероид наместо како сфера. Тековниот модел на Светскиот геодетски систем (WGS84), користи сфериод чиј полупречник изнесува приближно 6.378,137 км кај екваторот и 6.356,752 км кај половите (разлика од над 21 км).

Равенка

Сфероид со средиште во почетокот „y“ и свртен околу оската z се дефинира со имплицитната равенка:${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{b}}\right)^{2}=1\quad \quad {\hbox{ or }}\quad \quad {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ каде a е хоризонталниуот попречен полупречник на екваторот, а b е вертикалниот конјугиран полупречник.^[1]

Површина

Издолжениот сфероид има површина:${\displaystyle 2\pi \left(a^{2}+{\frac {ab\alpha }{\sin(\alpha )}}\right)}$ каде ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {a}{b}}\right)}$ е аголниот отклон на издолжениот сфероид, а ${\displaystyle e=\sin(\alpha )}$ енеговиот (обичен) отклон.

Сплеснатиот сфероид има површина

${\displaystyle 2\pi \left[a^{2}+{\frac {b^{2}}{\sin(\alpha )}}\ln \left({\frac {1+\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\right)\right]}$ where ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b}{a}}\right)}$ е аголниот отклон на сплеснатиот сфероид.

Волумен

Велуменот на сфероид (од секој вид) е ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}b\approx 4{,}19\,a^{2}b}$. Ако A=2a е екваторскиот пречник, а B=2b е поларниот пречник, тогаш волуменот ќе биде ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi A^{2}B\approx 0{,}523\,A^{2}B}$.

Закривеност

Ако сфероидот го параметризираме како

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,b\sin \beta );\,\!}$

каде ${\displaystyle \beta \,\!}$ е намалено или параметарска должина, ${\displaystyle \lambda \,\!}$ is the ширина, а ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\beta <+{\frac {\pi }{2}}\,\!}$ а ${\displaystyle -\pi <\lambda <+\pi \,\!}$, тогаш неговата Гаусова кривина ќе биде

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={b^{2} \over (a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}};\,\!}$

а неговата средна кривина е

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={b(2a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(b^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}.\,\!}$

Обете кривини секогаш се позитивни, така што секоја точка на сфероидот е елиптична.

Поврзано

• Елипсоид
• Издолжен сфероид
• Сплеснат сфероид
• Овал