Тензор

Тензор е вектор на одреден векторски простор и како математичка структура претставува обопштување на векторот. Тензорските величини се физички величини чија вредност зависи и од координатата. Математички се претставуваат со матрица.

Тензорот е физичка величина која е поврзана со еластичните, деформабилни особини на супстанците. Со тензорки величини се опишуваат векторските величини во анизотропна средина, како што е средината кај некубичните кристали. Тензорски величини се моментот на инерција, топлотната спроводливост, електричната спроводливост, дифузниот коефициент, показателот на прекршување и други.^[1]

Тензорското сметање е област на математиката која ги проучува тензорите и операциите со нив. Тензорското сметање ги опфаќа тензорската алгебра и тензорската анализа. Се применува во геометријата, теориската физика, механиката и применетата механика. Заради својата едноставна симболика влегло како апарат во низа современи технички дисциплини.

Историски преглед

Зборот тензор го вовел Вилијам Роуан Хамилтон во 1846 година и со него ги опишал операциите норма во Клифордовата алгебра.

Дефиниција

Формална дефиниција:

Тензор ${\displaystyle (m,n)}$ во векторскиот простор ${\displaystyle V}$ над полето ${\displaystyle F}$ е линеарно пресликување ${\displaystyle V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}\longmapsto F}$ кое за домен го зема производот на векторскиот простор ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ пати и ${\displaystyle n}$ пати производот на неговиот дуален векторски простор ${\displaystyle V^{*}}$. Просторот на сите тензори со степен ${\displaystyle (m,n)}$ е ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$.

Дефиниција на тензор при трансформација на полилинеарен функционал од еден во друг базис.

Тензор ${\displaystyle (p,q)}$ е полилинеарен функционал ${\displaystyle \sum _{k,m,...}\sum _{t,u,...}\tau _{i}^{k}\tau _{j}^{m}\dots \sigma _{t}^{r}\sigma _{u}^{s}\dots a_{km...}^{tu...}}$ зададен со систем од ${\displaystyle n^{p+q}}$ броеви, каде ${\displaystyle \tau _{j}^{i}}$ и ${\displaystyle \sigma _{j}^{i}}$ се елементи на матрицата на премин ${\displaystyle \mathbb {S} }$ и ${\displaystyle \mathbb {T} }$ од биортогонални базиси во нови базиси под услов да важи ${\displaystyle \mathbb {S} ={\mathbb {T} }^{-1}}$.^[2]

Примери

• Тензор со само една компонента е скалар и претставува тензор со ранг 0. Скаларот е ист во сите базиси.