Хелмхолцова равенка

From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:

каде претставува Лапласов оператор, е бранов број, а амплитуда. Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:

Remove ads

Извод

Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:

(1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:

(2)

Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:

(3)

Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:

(4)

и

(5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:

(6)

а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција се добива:

Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.

Remove ads

Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите

За Хелмхолцовата равенка:

(7)

Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

Заради тоа равенката (7) станува:

(8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:

каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

(9)

и

(10)

Решенијата од (9) и (10) се:

каде е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

Тридимензионално решение во сферни координати

Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

каде и се сферни Беселови функции, а : ги претставува сферните хармоници.

Remove ads

Нехомогена Хелмхолцова равенка

Нехомогената Хелмхолцова равенка:

се решава со помош на Гриновата функција, односно:

Бидејќи е:

тогаш е тридимензионална Гринова функција:

Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

а Гриновата функција како:

Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:

Remove ads

Поврзано

Лапласова равенка

Литература

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Хелмхолцови равенки
Remove ads

Надворешни врски

  • Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Helmholtz equation“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
  • Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
  • Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads