Хиперсфера

Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, со општа ознака ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$.

Хиперсфера во Евклидов простор со димензија 3, е сфера во вообичаена смисла.

Дефиниција

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број строго позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}}$.

На пример :

• за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
• за n = 1, хиперсферата е круг ;
• за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

Својства

Зафатнина

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}}$,

каде ${\displaystyle \Gamma }$ е гама-функција. Конкретно :

	n парни	n непарни
${\displaystyle V_{n}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}}$	${\displaystyle 2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}}$

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

n	Зафатнина
	точна	приближна
1	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$
2	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 3{,}14159}$
3	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }$	${\displaystyle 4{,}18879}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 4{,}93480}$
5	${\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 5{,}26379}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 5{,}16771}$
7	${\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 4{,}72478}$
8	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}}$	${\displaystyle 4{,}05871}$

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }V_{n}=0}$.

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2ⁿ. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

Плоштина

Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината V_n :

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{n/2}R^{n-1} \over \Gamma (n/2)}}$.

${\displaystyle S_{n}={2\pi ^{(n+1)/2}R^{n} \over \Gamma ((n+1)/2)}}$.

	n парен	n непарен
${\displaystyle S_{n}}$	${\displaystyle 2^{(n/2)+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}$

Значи плоштината на единичната n-сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ е:

${\displaystyle {2\pi ^{(n+1)/2} \over \Gamma ({n+1 \over 2})}~.}$

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

n	Плоштина на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
	точна	приближна
1	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 6{,}28318}$
2	${\displaystyle 4\pi }$	${\displaystyle 12{,}56637}$
3	${\displaystyle 2\pi ^{2}}$	${\displaystyle 19{,}73920}$
4	${\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}}$	${\displaystyle 26{,}31894}$
5	${\displaystyle \pi ^{3}}$	${\displaystyle 31{,}00627}$
6	${\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}}$	${\displaystyle 33{,}07336}$
7	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}}$	${\displaystyle 32{,}46969}$

Плоштината на единична n-сфера е максимална за n = 6. За n > 6, плоштината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0}$.

Поврзано

• Хиперпирамида
• 3-сфера
• Хиперкоцка