Jujukan Fibonacci

Dalam matematik, jujukan Fibonacci ialah jujukan nombor bermula dengan ${\displaystyle 0}$ dan ${\displaystyle 1}$, terma-${\displaystyle n}$ ditandai dengan ${\displaystyle F_{n}}$ dan ia adalah hasil tambah bagi dua terma sebelumnya. Nombor yang terdapat dalam jujukan ini dikenali sebagai nombor Fibonacci.

Representasi geometrik jujukan Fibonacci

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$, dimana ${\displaystyle F_{0}=0}$ dan ${\displaystyle F_{1}=1}$.

Ini adalah senarai terma pertama bagi jujukan Fibonacci:

${\displaystyle F_{0}}$	${\displaystyle F_{1}}$	${\displaystyle F_{2}}$	${\displaystyle F_{3}}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle F_{5}}$	${\displaystyle F_{6}}$	${\displaystyle F_{7}}$	${\displaystyle F_{8}}$	${\displaystyle F_{9}}$	${\displaystyle F_{10}}$	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle F_{13}}$	${\displaystyle F_{14}}$	${\displaystyle F_{15}}$	${\displaystyle F_{16}}$	${\displaystyle F_{17}}$	${\displaystyle F_{18}}$	${\displaystyle F_{19}}$	${\displaystyle F_{20}}$	${\displaystyle F_{21}}$	${\displaystyle F_{22}}$	${\displaystyle F_{23}}$
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765	10946	17711	28657

Kaitan kepada Nisbah Keemasan

Maklumat selanjutnya: Nisbah keemasan

Bermula dengan ${\displaystyle F_{0}}$, bahagikan ${\displaystyle F_{0}}$ dengan terma seterusnya, iaitu ${\displaystyle F_{1}}$. Sekarang, ambil ${\displaystyle F_{1}}$ dan bahagikan dengan terma seterusya iaitu - ${\displaystyle F_{2}}$. Ulangkan proses ini sampai bila-bila dan akhirnya tambahkan setiap hasil bahagi. Jumlah yang didapati adalah sekadar ${\displaystyle 1.618}$ dan ia sebenarnya suatu pemalar yang dikenali sebagai nisbah keemasan. Ia ditandai dengan huruf ${\displaystyle \phi }$ atau ${\displaystyle \varphi }$.

${\displaystyle \phi \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {F_{n}}{F_{n+1}}}={\frac {0}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}+{\frac {5}{8}}+{\frac {8}{13}}+\cdots \approx 1.61803398}$

Yang menariknya adalah ${\displaystyle \phi }$ juga adalah solusi bagi persamaan kuadratik ${\displaystyle x^{2}=x+1}$, ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Generalisasi Jujukan Fibonacci

Jujukan Tribonacci

Jujukan Tribonacci merupakan generalisasi jujukan Fibonacci dimana ${\displaystyle F_{n}}$ ditakrifkan sebagai hasil tambah bagi tiga terma sebelumnya. Ini adalah sebab namanya, "Tribonacci", kata imbuhan awalan tri- yang bermaksud "tiga"^[1] dengan nama Fibonacci. Nombor yang terdapat dalam jujukan Tribonacci dipanggil sebagai nombor Tribonacci.^[2]

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}}$

Jujukan Tribonacci mempunyai terma permulaan yang tidak ditakrifkan dengan jelas.^[3] Tetapi kebiasaanya ia ditakrifkan sebagai;

${\displaystyle F_{0}=0}$, ${\displaystyle F_{1}=0}$, ${\displaystyle F_{2}=1}$

Sejarah

¯\_(ツ)_/¯

Lihat Juga

• Jujukan
• Nisbah keemasan
• Integer
• Aritmetik