Logaritma

Logaritma adalah operasi matematik yang merupakan songsangan eksponen atau kuasa.

Rajah logaritma terhadap asas yang berbeza. merah adalah terhadap e, hijau adalah terhadap 10, dan ungu adalah terhadap 1.7. Perhatikan bahawa graf logaritma terhadap asas yang berbeza selalu melalui titik (1,0)

Rumus asas logaritma:

b^c= a ditulis sebagai log_b a = c (b disebut asas).

Asas

Asas yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah asas 10, e≈ 2.71828... dan 2.

Pernyataan

• Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti log_e a, log a sebagai ganti log₁₀ a dan ld a sebagai ganti log₂ a.
• Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berasaskan 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berasaskan e.
• Pada beberapa bahasa pemprograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berasaskan e.
• Kadang-kala Log x (huruf besar L) menunjuk kepada log₁₀ x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada log_e x.

Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

• Jadual
• Kalkulator (yang sudah dilengkapi ciri log)

Rumus

• log_x x = 1
• log_x^n x^m = m/n
• log_b x + log_b y = log_b (xy)
• log_bx - log_b y = log_b (x/y)
• (log_a b)(log_b c) = log_a c
• log_b xⁿ = nlog_b x
• log_b x = log_k x / log_k b

Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang kuasanya tidak diketahui. Tertibnya mudah dicari, maka, logaritma sering digunakan sebagai penyelesaian pengkamiran. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan mencari punca, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponen.

Sains

Dalam sains, terdapat banyak bidang yang umumnya dinyatakan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat pada skala logaritma.

• Negatif logaritma berasaskan 10 digunakan dalam kimia untuk menyatakan kepekatan ion hidronium (pH). Contohnya, kepekatan ion hidronium dalam air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

• Unit bel (dengan simbol B) adalah unit pengukur perbandingan (nisbah), seperti perbandingan nilai daya dan ketegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah kerana telinga manusia mentafsirkan suara yang didengari secara logaritmik. Unit Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang pencipta dalam bidang telekomunikasi. Unit desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

• Skala Richter mengukur kekuatan gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berasaskan 10.

• Dalam astronomi, magnitud yang mengukur keamatan bintang menggunakan skala logaritma, kerana mata manusia melihat kecerahan keamatan secara logaritmik.

Pengiraan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus pengiraan dari bilangan normal kepada kuasa dan eksponen. Apabila asas logaritmanya sama, maka beberapa jenis pengiraan menjadi lebih mudah dengan menggunakan logaritma::

Pengiraan dengan angka	Pengiraan dengan eksponen	Pengenalan Logaritma
${\displaystyle \!\,ab}$	${\displaystyle \!\,A+B}$	${\displaystyle \!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)}$
${\displaystyle \!{\frac {a}{b}}}$	${\displaystyle \!\,A-B}$	${\displaystyle \!\,\log({\frac {a}{b}})=\log(a)-\log(b)}$
${\displaystyle \!\,a^{b}}$	${\displaystyle \!\,Ab}$	${\displaystyle \!\,\log(a^{b})=b\log(a)}$
${\displaystyle \!\,{\sqrt[{b}]{a}}}$	${\displaystyle \!\,{\frac {A}{b}}}$	${\displaystyle \!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})={\frac {\log(a)}{b}}}$

Sifat-sifat di atas menjadikan pengiraan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum kewujudan kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi moden.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Kalkulus

Tertib fungsi logaritma adalah

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}}$

iaitu ln adalah logaritma asli, logaritma yang berasaskan e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat dimudahkan menjadi

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

Kamiran fungsi logaritma adalah

${\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C}$

Kamiran logaritma berasaskan e adalah

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,}$

Pengiraan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan asas b dapat dikiran dengan rumus dibawah ini.

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}\qquad {\mbox{ or }}\qquad \log _{b}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(b)}}}$

Sedangkan untuk logaritma berasaskan e dan berasaskan 2, terdapat kaedah-kaedah yang umum, yang hanya menggunakan penambahan, penolakan, pendaraban, dan pembahagian.

Lihat juga

• Logaritma biasa
• Logaritma asli
• Logaritma deduaan