Polinomial

Dalam bidang matematik, polinomial ialah sejumlah ungkapan yang menggunakan pembolehubah bereksponen integer yang berpasangan dengan suatu pekali berinteger.

Sebagai contoh, ${\displaystyle 3x^{2}-4x+7}$ adalah sebuah polinomial, dimana ${\displaystyle x}$ adalah pembolehubah, ${\displaystyle +3}$ dan ${\displaystyle -4}$ adalah pekali dan ${\displaystyle +7}$ adalah pemalar. Secara am, bentuk umum bagi suatu polinomial adalah:

${\displaystyle {c_{n}}x^{n}+{c_{n-1}}x^{n-1}+{c_{n-2}}x^{n-2}+\cdots +c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+x_{1}x+c_{0}}$

Dimana ${\displaystyle x}$ adalah pembolehubah, ${\displaystyle c_{n}}$ adalah pekali dan ${\displaystyle n}$ adalah eksponen pembolehubah.

Klasifikasi polinomial

Jenis polinomial

Jenis polinomial diklasifikasi berdasarkan bilangan ungkapannya. Terdapat 4 jenis polinomial:

• Monomial
• Binomial
• Trinomial
• Polinomial lebih daripada 3 ungkapan.

Monomial merupakan polinomial yang hanya mempunyai satu ungkapan. Sebagai contoh, ${\displaystyle 2xy}$, ${\displaystyle -4z}$, ${\displaystyle 9a}$. Istilah monomial juga ditukar dengan perkataan ungkapan. Perkataan monomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Yunani mono- yang bermaksud "satu" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Semua polinomial dibuat daripada jumlah-jumlahan monomial.

Maklumat selanjutnya: Teorem binomial

Binomial merupakan polinomial yang mempunyai dua ungkapan. Sebagai contoh, ${\displaystyle 3x+4y}$, ${\displaystyle 7x^{2}+5x}$, ${\displaystyle 8a-9k}$. Perkataan binomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Latin bi- yang bermaksud "dua" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Terdapat beberapa hukum yang berkaitan dengan binomial, yang paling dikenali adalah:

• ${\displaystyle (x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}}$, dimana ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}}$, dimana ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Segi tiga Pascal, pekali bagi setiap ungkapan kembangan binomial bersempadan kepada nombor di baris-${\displaystyle n}$.

Juga, binomial ${\displaystyle (x+y)^{2}}$ boleh dikembangkan untuk eksponen berinteger yang lebih daripada ${\displaystyle 2}$. Ini dicapai dengan teorem binomial:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$

dimana ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle n,k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ dan ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ adalah gabungan ${\displaystyle k}$ dipilih dari ${\displaystyle n}$.

Ia juga dinotakan bahawa pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial tersebut bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris-${\displaystyle n}$ di segi tiga Pascal.

Piramid Pascal, pekali bersempadan kepada nombor yang berada di datar-${\displaystyle n}$.

Trinomial adalah polinomial yang mempunyai tiga ungkapan. Seperti etimologi monomial dan binomial, perkataan trinomial datang dari gabungan perkataan nomen yang bermaksud "nama" dan kata awalan bahasa Inggeris tri-, yang bermaksud "tiga". Juga, ia wujud cara untuk mengembangkan suatu trinomial seperti pengembangan binomial, iaitu menggunakan pengembangan trinomial:

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}}$

Sama seperti bagaimana pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris-${\displaystyle n}$ di segi tiga Pascal, pekali bagi setiap ungkapan di kembangan trinomial bersempadan kepada nombor datar-${\displaystyle n}$ susunan bentuk 3D piramid Pascal.

Darjah polinomial

Maklumat selanjutnya: Darjah polinomial

Darjah polinomial merupakan nilai yang mewakili eksponen pembolehubah tertinggi dalam suatu polinomial.

Sebagai contoh, darjah polinomial bagi ${\displaystyle 2x^{3}+7x^{2}-8x+3}$ adalah ${\displaystyle 3}$, kerana ${\displaystyle 3}$ adalah eksponen pembolehubah ${\displaystyle x}$ tertinggi.

Nama polinomial

Nama polinomial dinamakan berdasarkan darjah polinomialnya. Ini adalah senarai nama bagi beberapa darjah polinomial pertama, serta bentuk polinomial:

Darjah polinomial	Nama / Jenis polinomial	Bentuk polinomial
0	pemalar	${\displaystyle c_{0}x^{0}=c_{0}}$
1	linear	${\displaystyle c_{1}x+c_{0}}$
2	kuadratik	${\displaystyle {c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
3	kubik	${\displaystyle {c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
4	kuartik	${\displaystyle {c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
5	kuintik	${\displaystyle {c_{5}}x^{5}+{c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
6	sekstik	${\displaystyle {c_{6}}x^{6}+{c_{5}}x^{5}+{c_{4}}x^{4}+{c_{3}}x^{3}+{c_{2}}x^{2}+c_{1}x+c_{0}}$
${\displaystyle n}$	...	${\displaystyle {c_{n}}x^{n}+{c_{n-1}}x^{n-1}+{c_{n-2}}x^{n-2}+\cdots +c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+x_{1}x+c_{0}}$

Solusi bagi polinomial

Rumus-rumus

Bentuk persamaan linear: ${\displaystyle ax+b=0}$

Solusi: ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

Bentuk persamaan kuadratik: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

Solusi: ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Bentuk persamaan kubik: ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Solusi:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad -{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad -{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad +{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad +{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=-{\frac {b}{3a}}\\&\quad +{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\\&\quad +{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}}\right]}}\end{aligned}}}$

dimana ${\displaystyle i}$ adalah unit khayalan.

Bentuk persamaan kuartik: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

Solusi:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {Q}}\\x_{2}&=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {Q}}\\x_{3}&=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {R}}\\x_{4}&=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {P}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {R}}\end{aligned}}}$

dimana:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {2c}{3a}}+S}}\\Q&={\sqrt {{\frac {b^{2}-4ac+4aS}{2a^{2}}}-T}}\\R&={\sqrt {{\frac {b^{2}-4ac+4aS}{2a^{2}}}+T}}\\S&={\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\T&={\frac {b^{3}}{a^{3}}}-{\frac {4bc}{a^{2}}}+{\frac {8d}{a}}\end{aligned}}}$

Hampiran numerikal

Mengikut teori Galois, tiada wujud rumus penyelesaian kepada persamaan polinomial dengan darjah polinomial melebihi 4 dengan menggunai operasi asas aritmetik. Oleh itu, hampiran numerikal digunakan untuk cari solusi bagi persamaan tersebut.

Sifat-sifat

• Hasil tambah polinomial juga polinomial.
• Hasil darab polinomial juga polinomial.
• Terbitan fungsi polinomial juga polinomial. Terbitan ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ ialah ${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}}$.
• Antiterbitan fungsi polinomial juga polinomial. Antiterbitan ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ ialah ${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c}$.

Aritmetik

Hukum sekutuan boleh diguna pakai dalam penambahan dan penolakan dua polinomial, yakni mengumpul dan menggabungkan pekali bagi pemboleh ubah berdarjah sepadan. Hukum agihan pula digunakan dalam pendaraban dua polinomial.

Pembahagian dua polinomial tidak selalunya menerbitkan polinomial dan lazimnya berada di bawah pecahan nisbah,^[1] seperti mana pembahagian dua integer tidak semestinya menghasilkan satu integer, tetapi menghasilkan nombor bukan integer di bawah nombor nisbah.^[2] Pembahagian polinomial boleh dilaksanakan dengan beberapa kaedah seperti pembahagian panjang dan pembahagian sintetik.^[3]