For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Automorfisme.

Automorfisme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een automorfisme, van Grieks: αὐτός, zelf en μορφή. vorm, is in de wiskunde een bijectieve afbeelding van een object naar zichzelf die de structuur van het object behoudt, anders gezegd een isomorfisme van het object naar zichzelf.

Automorfismegroep

Omdat de samenstelling van twee automorfismen weer een automorfisme is en de inverse van een automorfisme ook weer een automorfisme is, vormen de automorfismen van een vast object een groep, de automorfismegroep, van het object. De studie van deze groepen speelt in veel takken van de wiskunde een belangrijke rol, en met name in de Galoistheorie is het centrale studieobject een groep van automorfismen van een lichaam.

De automorfismegroep van een groep wordt aangeduid met en is dus gedefinieerd door:

Dat dit inderdaad zelf een groep is, met als groepsbewerking de samenstelling van afbeeldingen, volgt uit het onderstaande bewijs.

  • , omdat de identieke afbeelding een automorfisme is ().
  • is afgesloten onder de bewerking , want de samenstelling van twee automorfismen is ook een automorfisme: voor geldt namelijk dat voor alle
dus .
  • De groepsbewerking samenstelling van afbeeldingen is associatief.
  • Er is een eenheidselement, namelijk de identieke afbeelding , want voor en alle geldt:
.
  • Ieder isomorfisme, en dus ook ieder automorfisme, is inverteerbaar. Deze inverse is ook een automorfisme en daarom element van .

Voorbeelden

  • In de verzamelingenleer is een automorfisme van een verzameling een willekeurige permutatie van de elementen van . De automorfismegroep van wordt ook wel aangeduid als de symmetriegroep op
  • In de elementaire rekenkunde, wordt de verzameling van gehele getallen, , beschouwd als een groep onder de operatie optelling. Deze verzameling heeft een uniek niet triviaal automorfisme: negatie. Beschouwd als een ring kent de verzameling van gehele getallen alleen het triviale automorfisme. Algemeen gesproken is ontkenning een automorfisme van elke abelse groep, maar is ontkenning geen automorfisme van een ring of van een veld.
  • Een groepsautomorfisme is een groepsisomorfisme van een groep op zichzelf. Informeel gesproken kan men een groepsautomorfisme zien als een permutatie van de groepselementen zodanig dat de structuur onveranderd blijft. Voor elke groep bestaat er een natuurlijk groepshomomorfisme , waarvan het beeld de groep van inwendige automorfismen is en waarvan de kern het centrum van de groep is. Als dus een trivaal centrum heeft, kan de groep worden ingebed in haar eigen automorfismegroep.
  • In de grafentheorie is een automorfisme van een graaf een permutatie van de knopen die zijden en niet-zijden bewaart. Als twee knopen verbonden zijn door een zijde, dan zijn hun beelden onder een permutatie dat ook.

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Automorfisme
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.