For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Inverse matrix.

Inverse matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant van de matrix ongelijk is aan 0. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix , genoteerd als , is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als , die zowel links als rechts met vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert.

Als van een stelsel vergelijkingen de inverse van bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector , de vector worden berekend. De oplossing is .

Definitie

Een -matrix heet inverteerbaar, als er een -matrix bestaat zodanig dat

Hierin is de eenheidsmatrix van orde , ook wel aangeduid met . De matrix heet de inverse van en wordt aangeduid met .

Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.

Eigenschappen

  • Uniciteit: De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat de -matrix ook een inverse is van . Dan is
  • Als inverteerbaar is, is ook inverteerbaar en
  • Als en beide inverteerbare -matrices zijn, is ook hun product inverteerbaar en
  • Als inverteerbaar is, en is een reëel getal verschillend van 0, dan
  • De getransponeerde matrix van een inverteerbare matrix , is ook inverteerbaar en

Inverteerbaarheid

Voor een -matrix zijn de volgende uitspraken equivalent:

  • is inverteerbaar
  • er is een -matrix zodat
  • er is een -matrix zodat
  • de determinant van is verschillend van 0
  • de vergelijking heeft als enige oplossing
  • de vergelijking heeft precies één oplossing voor elke
  • is inverteerbaar
  • de kolommen van zijn lineair onafhankelijk
  • de rijen van zijn lineair onafhankelijk
  • de rang van is
  • de echelonvorm van is de eenheidsmatrix
  • alle eigenwaarden van zijn verschillend van nul
  • de lineaire operator horende bij is inverteerbaar
  • de lineaire operator horende bij is injectief, surjectief, of beide.

Inverteren

Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van algoritmen om een matrix te inverteren.

De inverse van de vierkante matrix kan berekend worden met de formule

Hierin is de determinant van en de geadjugeerde van .

Voorbeeld 1

De 2×2-matrix is inverteerbaar als de determinant van ongelijk is aan 0: . De inverse van wordt dan gegeven door:

Matrix 'vegen'

De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk.

Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix is door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix te herleiden tot .

Voorbeeld 2

Inverteer:

Vorm de uitgebreide matrix

Vegen:

Trek 2 keer de eerste rij af van de beide andere:

Verwissel de 2e en de 3e rij:

Deel de 2e rij door –3:

Trek 2 keer de 2e rij af van de 1ste:

De inverse is dus:

Niet-vierkante matrices

Voor een niet-vierkante matrix kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter wel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Inverse matrix
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.