Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant van de matrix ongelijk is aan 0. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix , genoteerd als , is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als , die zowel links als rechts met vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert.
Als van een stelsel vergelijkingen de inverse van bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector , de vector worden berekend. De oplossing is .
Een -matrix heet inverteerbaar, als er een -matrix bestaat zodanig dat
Hierin is de eenheidsmatrix van orde , ook wel aangeduid met . De matrix heet de inverse van en wordt aangeduid met .
Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.
Voor een -matrix zijn de volgende uitspraken equivalent:
Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van algoritmen om een matrix te inverteren.
De inverse van de vierkante matrix kan berekend worden met de formule
Hierin is de determinant van en de geadjugeerde van .
De 2×2-matrix is inverteerbaar als de determinant van ongelijk is aan 0: . De inverse van wordt dan gegeven door:
De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk.
Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix is door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix te herleiden tot .
Inverteer:
Vorm de uitgebreide matrix
Vegen:
Trek 2 keer de eerste rij af van de beide andere:
Verwissel de 2e en de 3e rij:
Deel de 2e rij door –3:
Trek 2 keer de 2e rij af van de 1ste:
De inverse is dus:
Voor een niet-vierkante matrix kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter wel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.