Getransponeerde matrix

In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix of kortweg de getransponeerde van een matrix ${\displaystyle A}$ de matrix die ontstaat door een van de onderstaande twee acties op ${\displaystyle A}$ uit te voeren:

• Schrijf de rijen van ${\displaystyle A}$ als de kolommen van ${\displaystyle A^{\text{T}}}$.
• Schrijf de kolommen van ${\displaystyle A}$ als de rijen van ${\displaystyle A^{\text{T}}}$.

Het bepalen van de getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ van een matrix ${\displaystyle A}$ en hetzelfde nog een keer uitvoeren, zodat ${\displaystyle A}$ er weer komt.

Als ${\displaystyle A}$ een vierkante matrix is komt dat er op neer dat ${\displaystyle A}$ om zijn hoofddiagonaal wordt gespiegeld. Als men hetzelfde voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix ${\displaystyle A}$, ook als ${\displaystyle A}$ geen vierkante matrix is.

${\displaystyle A^{\text{T}}}$ wordt ook geschreven als ${\displaystyle A^{\top }}$ of als ${\displaystyle A'}$. De notatie ${\displaystyle A'}$ wordt in MATLAB voor de getransponeerde matrix van ${\displaystyle A}$ gebruikt.

De Britse wiskunde Arthur Cayley heeft de getransponeerde matrix in 1858 ingevoerd.^[1]

Definitie

De getransponeerde matrix van een ${\displaystyle m\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ is de ${\displaystyle n\times m}$-matrix ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle A_{ij}^{\text{T}}=A_{ji}}$ voor ${\displaystyle 1\leq i\leq n,\quad 1\leq j\leq m}$

Voorbeelden

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

Eigenschappen

Voor de matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ en de scalair ${\displaystyle c}$ gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

• ${\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}}=A}$

De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie, een bewerking die haar eigen inverse is.

• ${\displaystyle (A+B)^{\text{T}}=A^{\text{T}}+B^{\text{T}}}$

Transponeren behoudt optelling.

• ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan worden afgeleid dat een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is dan en slechts dan als ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ inverteerbaar is en in dat geval is ${\displaystyle (A^{-1})^{\text{T}}=(A^{\text{T}})^{-1}.}$ Dit resultaat kan worden uitgebreid naar het algemene geval van meer dan twee matrices. Dan geldt ${\displaystyle (AB\ldots C)^{\text{T}}=C^{\text{T}}\ldots B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$.

• ${\displaystyle (cA)^{\text{T}}=cA^{\text{T}}}$

De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de vectorruimte van ${\displaystyle m\times n}$-matrices naar de ruimte van alle ${\displaystyle n\times m}$-matrices.

• ${\displaystyle {\text{sp}}(A^{\text{T}})={\text{sp}}(A)}$

Het spoor van een vierkante matrix is gelijk aan het spoor van zijn getransponeerde matrix.

• ${\displaystyle \det(A^{\text{T}})=\det(A)}$

De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.

• ${\displaystyle {\text{rang}}(A^{\mathrm {T} })={\text{rang}}(A)}$

De rang van iedere matrix ${\displaystyle A}$ is gelijk aan de rang van de getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{T}}$ van ${\displaystyle A}$

• Het inwendige product van twee kolomvectoren ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ kan worden berekend als

${\displaystyle a\cdot b=a^{\mathrm {T} }b}$

• Als de matrix ${\displaystyle A}$ alleen reële elementen heeft, dan is ${\displaystyle A^{\text{T}}A}$ een positief-semidefiniete matrix.
• Als ${\displaystyle A}$ een matrix is over een lichaam/veld, dan is ${\displaystyle A}$ gelijksoortig met ${\displaystyle A^{\text{T}}.}$
• ${\displaystyle (A^{\text{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\text{T}}}$

Voor een inverteerbare matrix ${\displaystyle A}$ is de getransponeerde van de inverse matrix de inverse van de getransponeerde.

• Als ${\displaystyle A}$ een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde matrix.

Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie

• Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd, dat wil zeggen dat ${\displaystyle A}$ symmetrisch is als geldt

${\displaystyle A^{\text{T}}=A}$

• Een vierkante matrix waarvan de getransponeerde ook de inverse matrix is, is een orthogonale matrix. Dat wil zeggen dat de matrix ${\displaystyle A}$ orthogonaal is als geldt

${\displaystyle AA^{\text{T}}=A^{\text{T}}A=I}$, waarin ${\displaystyle I}$ de eenheidsmatrix is

dus

${\displaystyle A^{\text{T}}=A^{-1}}$

De kolommen van ${\displaystyle A}$ zijn orthonormaal.

• Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd. Dat wil zeggen dat de matrix ${\displaystyle A}$ antisymmetrisch is als

${\displaystyle A^{\text{T}}=-A}$

• Een hermitische matrix is een matrix die gelijk is aan de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan, genoteerd

${\displaystyle {\overline {A}}^{\text{T}}}$

Dit wordt vaak afgekort tot ${\displaystyle A^{*}}$. Dus ${\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{\text{T}}}$

• Een normale matrix is een matrix die commuatief is met de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan:

${\displaystyle A\ {\overline {A}}^{\text{T}}\ =\ {\overline {A}}^{\text{T}}\ A}$

Voetnoten

1. A Cayley. A memoir on the theory of matrices, 1858. voor Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148, blz 17–37, getransponeerde op blz 31