Lévy-vlucht
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
Een Lévy-vlucht is een toevalsbeweging ("random walk") waarin de staplengten een kansverdeling hebben die een zware staart ("heavy tail") heeft. Wanneer gedefinieerd als een wandeling in een ruimte van dimensie groter dan één, zijn de stappen in isotrope willekeurige richtingen. De "Lévy" in "Lévy-vlucht" is een verwijzing naar de Franse wiskundige Paul Lévy.
De term "Lévy-vlucht" werd bedacht door Benoît Mandelbrot,[1] die de term voor een specifieke definitie van de verdeling van stapgroottes gebruikte. Hij gebruikte de term Cauchy-vlucht voor het geval waar de verdeling van stapgrootte een Cauchy-verdeling is,[2] en Rayleigh-vlucht voor wanneer de distributie een normale verdeling is.[3] Een normale verdeling is geen voorbeeld van een zwaarstaartige kansverdeling.
Latere onderzoekers hebben het gebruik van de term "Lévy-vlucht" uitgebreid naar gevallen waarin de toevalsbeweging plaatsvindt op een discreet rooster in plaats van in een continue ruimte.[4][5]
Een Lévy-vlucht is een toevalsbeweging waarin de stappen worden gedefinieerd in termen van de stapgrootten, die een bepaalde kansverdeling hebben, en waar de richtingen van de stappen isotroop en willekeurig zijn.
Het bijzondere geval waarvoor Mandelbrot de term "Lévy-vlucht" gebruikte[1] wordt gedefinieerd door de overlevende functie van de verdeling van de stapgrootten, U[6]
Hier is D een parameter die gerelateerd is aan de fractale dimensie en is de verdeling een bijzonder geval van de Pareto-verdeling. Latere onderzoekers staan toe dat de verdeling van de stapgrootte elke verdeling is waarvoor de overlevende functie een machtsachtige staart heeft.
voor enige k die voldoet aan 1 < k < 3 (hier komt de O uit de grote-O-notatie). Zulke verdelingen hebben een oneindige variantie. Typische voorbeelden zijn de symmetrische stabiele verdelingen.