Methode van Newton-Raphson

De methode van Newton-Raphson, ook bekend als de methode van Newton of kortweg Newton-Raphson, is een iteratiemethode uit de numerieke wiskunde om de nulpunten te bepalen van een differentieerbare functie, zoals van een polynoom of een transcendente functie. De methode is naar Isaac Newton genoemd, die de methode bedacht, en Joseph Raphson, die er een formele beschrijving van gaf. Het algoritme convergeert onder gunstige omstandigheden vrij snel, namelijk kwadratisch: de fout na de ${\displaystyle (n+1)}$-ste iteratie is evenredig met het kwadraat van de fout na de ${\displaystyle n}$-de iteratie. De methode construeert in elke volgende stap een volgende benadering met behulp van de eerste afgeleide en de functiewaarde in de huidige benadering van het nulpunt. De methode is niet altijd stabiel.

De regula falsi convergeert trager dan de methode van Newton-Raphson, maar is stabieler. In de praktijk worden meer stabiele en snellere numerieke methoden dan de methode van Newton-Raphson gebruikt om de nulpunten van functies te bepalen, zoals de methode van Edmond Halley, die een uitbreiding is van de methode van Newton. De meeste methoden gebruiken tweede en hogere afgeleiden en een polynoom van een tweede of hogere graad om de nulpunten van een functie te bepalen.

Geschiedenis

Isaac Newton schreef in de periode 1664-1671 het werk Methodus fluxionum et serierum infinitarum, Latijn voor: De methode van afgeleiden en oneindige rijen en beschreef daarin een nieuw algoritme voor het oplossen van veeltermvergelijkingen aan de hand van het voorbeeld ${\displaystyle y^{3}-2y-5=0}$.

Joseph Raphson beschreef het rekenproces in 1690 in het werk Analysis Aequationum universalis en illustreerde het met de algemene derdegraadsvergelijking, waar hij de onderstaande iteratieregel vond.^[1]

De abstracte vorm van deze werkwijze

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

met gebruik van de afgeleide is van Thomas Simpson.

Definitie

De methode van Newton-Raphson benadert een nulpunt van een differentieerbare functie ${\displaystyle f}$, uitgaande van de startwaarde ${\displaystyle x_{0}}$, iteratief door de recursieve betrekking:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

Verklaring

De functie ${\displaystyle f(x)}$ heeft een nulpunt voor ${\displaystyle x=\alpha }$, dus ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. Noem ${\displaystyle h_{n}=\alpha -x_{n}}$ het verschil tussen het nulpunt ${\displaystyle \alpha }$ en de benadering ${\displaystyle x_{n}}$, zodat

${\displaystyle f(x_{n}+h_{n})=f(\alpha )=0}$

De stelling van Taylor geeft een benadering van ${\displaystyle f}$ in de omgeving van ${\displaystyle x_{n}}$:

${\displaystyle 0=f(\alpha )=f(x_{n}+h_{n})=f(x_{n})+hf'(x_{n})+\ldots }$

Onder verwaarlozing van de termen van tweede orde krijgt men een benadering van ${\displaystyle h_{n}}$:

${\displaystyle h_{n}\approx -{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\quad }$ de afgeleide ${\displaystyle f'(x_{n})}$ wordt ongelijk aan nul verondersteld

Een betere benadering voor het nulpunt is dan:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+h_{n}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

Samen met de startwaarde ${\displaystyle x_{0}}$ geeft dit een recursieve procedure voor het benaderen van het nulpunt ${\displaystyle \alpha }$.

Merk op dat ${\displaystyle x_{n+1}}$ het snijpunt met de ${\displaystyle x}$-as is van de raaklijn aan de grafiek van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle x_{n}}$, gegeven door de formule

${\displaystyle y=(x-x_{n})f'(x_{n})+f(x_{n})}$