Reëel getal

De reële getallen zijn de getallen die op eenduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas, getallenlijn, getallenrechte of reële rechte genoemd. Zo kunnen we ons intuïtief de verzameling van de reële getallen, die wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathbb {R} }$ en soms het continuüm wordt genoemd, voorstellen.

De verzameling ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bestaat uit de rationale en de irrationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is het getal ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (de vierkantswortel van twee). Een ander voorbeeld is het getal ${\displaystyle \pi }$ (pi), dat niet alleen irrationaal is, maar zelfs een transcendent getal. Het bewijs dat irrationale getallen bestaan, creëerde de noodzaak om de verzameling van de rationale getallen uit te breiden.

Rationale getallen kunnen, behalve als gewone breuk, ook geschreven worden als decimale breuk, met eindig veel decimalen, of als repeterende breuk met oneindig veel, zich herhalende decimalen. Een irrationaal getal kan vanwege de verderop genoemde eigenschap dat ${\displaystyle \mathbb {R} }$ volledig is, willekeurig dicht benaderd worden door een rationaal getal, en dus met iedere graad van nauwkeurigheid benaderend geschreven worden als een decimale breuk. Het is zo mogelijk zich een (abstracte) voorstelling van de reële getallen te maken als decimale breuken, met in het geval van de irrationale getallen oneindig veel decimalen. Zo weten we precies wat de getallen ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ en ${\displaystyle \pi }$ zijn, maar van hun decimale voorstelling kennen we uiteraard maar eindig veel decimalen.

De verzameling van de reële getallen kan men voorzien van de wiskundige operaties optelling en vermenigvuldiging waardoor men een lichaam (Nederlandse term) of veld (Belgische term) verkrijgt. Eenvoudig gezegd betekent dit dat men op de voor de hand liggende manier met de getallen kan rekenen (zoals ${\displaystyle \pi +145=145+\pi }$).

Er zijn veeltermvergelijkingen in één variabele, zoals de vierkantsvergelijking ${\displaystyle x^{2}+1=0}$, die geen (reële) oplossingen hebben, ofwel irreducibel (niet-reduceerbaar) zijn. Men zegt dat het lichaam ${\displaystyle \mathbb {R} }$ niet algebraïsch gesloten is. Er bestaat echter een uitbreiding van ${\displaystyle \mathbb {R} }$, namelijk de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$, waarin elke algebraïsche vergelijking een oplossing heeft.

De absolute waarde ${\displaystyle |a|}$ van een reëel getal ${\displaystyle a}$ is dat getal zelf, indien het niet negatief is, of anders zijn tegengestelde ${\displaystyle -a}$. De absolute waarde is een norm op ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dus de functie ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ bepaalt een afstandsfunctie of metriek op ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Als metrische ruimte is ${\displaystyle \mathbb {R} }$ volledig.