Loading AI tools
quotiënt van twee gehele getallen Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een rationaal getal is in de wiskunde het quotiënt, de verhouding, Latijn: ratio, van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is. De verzameling van rationale getallen wordt meestal genoteerd als .
De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen en omvatten de gehele getallen . Ieder geheel getal is dus ook een rationaal getal en ieder rationaal getal is ook een reëel getal.
Voorbeelden van rationale getallen zijn:
Ieder geheel getal is rationaal, zo is:
Ieder decimale getal met eindig veel decimalen is een rationaal getal:
0,5 | = | 510 = 12 |
0,17 | = | 17100 |
0,567943209 | = | 5679432091000000000 |
Niet ieder rationaal getal is als een decimaal getal te schrijven met eindig veel decimalen. Bijvoorbeeld:
en
zijn beide decimale getallen met oneindig veel decimalen, maar wel met een zich herhalend patroon. Men spreekt van een repeterende breuk. Ieder rationaal getal in het decimale stelsel heeft achter de komma een eindig aantal cijfers of is een repeterende breuk. Als een getal met oneindig veel decimalen geen herhalend patroon heeft, is het een irrationaal getal.
De verzameling van de rationale getallen is niet eindig, maar wel aftelbaar. De rationale getallen liggen dicht op de getallenlijn, wat betekent dat ieder punt daarop willekeurig dicht door een rationaal getal kan worden benaderd, maar er zijn ook oneindig veel 'gaten', want tussen ieder tweetal rationale getallen ligt een irrationaal getal.
Getallen als de wortel 2, π en e behoren niet tot de verzameling van rationale getallen, omdat ze niet als een breuk, dus als quotiënt van twee gehele getallen, kunnen worden geschreven. Deze getallen heten irrationaal.
Als verzameling zijn de rationale getallen volgens de bovenstaande definitie te schrijven als
waarin de verzameling van gehele getallen is.
is door de eigenschappen van de optelling en vermenigvuldiging een voorbeeld van een lichaam (Nederland) of veld (Belgisch). Voor de bewerkingen die we met rationale getallen kunnen uitvoeren, gelden de volgende regels.
optellen: | |
vermenigvuldigen: | |
aftrekken: | |
delen: |
is het quotiëntenlichaam van het integriteitsgebied van de gehele getallen.
is het kleinste lichaam van karakteristiek 0. Elk ander lichaam van karakteristiek 0 bevat een kopie van .
De rationale getallen zijn niet algebraïsch gesloten, bijvoorbeeld doordat de vierkantswortel van het rationale getal 2 niet op zijn beurt rationaal is.[1]
De algebraïsche sluiting van is het lichaam van de algebraïsche getallen. Deze verzameling wordt genoteerd als of en is net als aftelbaar. Let wel, is niet gelijk aan het lichaam van de complexe getallen, dat de algebraïsche sluiting van de reële getallen is.
Gegeven een positief geheel getal . Als een rationaal getal is, dan is een kwadraat.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.