Stein-variëteit

In de theorie van de functies van meer complexe variabelen en complexe variëteiten, deelgebieden van de wiskunde, is een Stein-variëteit, een complexe deelvariëteit van de vectorruimte, dus van een complexe ruimte, van meer complexe dimensies. De naam komt van de Duitse wiskundige Karl Stein.

Definitie

Een complexe variëteit ${\displaystyle X}$ van complexe dimensie ${\displaystyle n}$ wordt een Stein-variëteit genoemd als aan de onderstaande condities wordt voldaan:

• ${\displaystyle X}$ is holomorf convex, dat wil zeggen dat elke compacte deelverzameling ${\displaystyle K\subset X}$, de zogenoemde holomorfe convexe omhulling,

${\displaystyle {\bar {K}}=\{z\in X:|f(z)|\leq \sup _{K}|f|\forall f\in {\mathcal {O}}(X)\},}$

opnieuw een compacte deelverzameling van ${\displaystyle X}$ is. Hier duidt ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ de ring van holomorfe functies op ${\displaystyle X}$ aan.

• ${\displaystyle X}$ is holomorf scheidbaar, dat wil zeggen dat als ${\displaystyle x\neq y}$ twee punten in ${\displaystyle X}$ zijn, er dan een holomorfe functie

${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$

bestaat, zodanig dat ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Literatuur

• (en) Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 1966, herdruk in 1973 en 1990. North-Holland Publishing Co., Amsterdam ISBN 978-0-444-88446-6