For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Welordeningsstelling.

Welordeningsstelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de welordeningsstelling of het welordeningsprincipe de uitspraak dat elke verzameling welgeordend kan zijn. Deze stelling staat ook bekend als de stelling van Zermelo en is gelijkwaardig aan het keuzeaxioma.[1] Ernst Zermelo voerde het keuzeaxioma als een "niet bezwaarlijk logisch principe" in om de welordeningsstelling te bewijzen. Dit is belangrijk omdat welgeordendheid de krachtige techniek van transfiniete inductie toepasbaar maakt voor een verzameling. De welordeningsstelling heeft gevolgen die paradoxaal kunnen lijken; een voorbeeld daarvan is de Banach-Tarski-paradox.

Geschiedenis

Georg Cantor beschouwde de welordeningsstelling als een "fundamenteel principe in het denken." De meeste wiskundigen vinden het echter moeilijk om zich een visuele voorstelling te vormen van de welordening van bijvoorbeeld de verzameling van reële getallen. In 1904 beweerde Gyula Kőnig dat hij had bewezen dat een dergelijke welordening niet kan bestaan. Een paar weken later vond Felix Hausdorff echter een fout in Königs bewijs. Wel bleek echter dat de welordeningsstelling gelijkwaardig is aan het keuzeaxioma, in die zin dat in de eerste orde logica een van beide samen met de Zermelo-Fraenkel axioma's voldoende is om de andere te bewijzen. Hetzelfde geldt ook voor het lemma van Zorn. In de tweede orde logica is de welordeningsstelling strikt genomen sterker dan het keuzeaxioma: uit de welordeningsstelling kan men hier het keuzeaxioma deduceren.[2]

Bewijs uit het Lemma van Zorn

De welordeningsstelling volgt uit het lemma van Zorn. Noem de verzameling van alle welordeningen van deelverzamelingen van : een element van is een geordend paar waarbij en een welordening is van . kan hiermee partieel geordend worden. Dat houdt in dat als een beginsegment is van en de ordening van de elementen van dezelfde is als die van . Als een keten is in , kan de vereniging van de verzamelingen van zo worden geordend dat die overgaat in een voortzetting op elke vereniging uit ; die ordening is een welordening en daarom een bovengrens van in . Uit het Lemma van Zorn volgt dan dat een maximaal element heeft, bijvoorbeeld . De verzameling moet gelijk zijn aan , want als een element heeft dan heeft een welordening beperkt tot in , en waarvoor groter is dan alle elementen van . Deze welgeordende set is een uitbreiding van , wat in tegenspraak is met de maximaliteit ervan, dus . Daarom is een welordening van .

Voetnoten

  1. (en) Marek Kuczmazie An introduction to the theory of functional equations and inequalities
  2. (en) Shapiro, Stewart, Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. Oxford University Press, New York (1991). ISBN 0198533918.
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Welordeningsstelling
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.