Algebra

Zie Algebra (doorverwijspagina) voor andere betekenissen van Algebra.

Algebra is een tak van de wiskunde die zich richt op het werken met symbolen en vergelijkingen om problemen op te lossen. In plaats van alleen met getallen te rekenen (rekenkunde), maakt algebra gebruik van variabelen zoals ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$. Deze variabelen vertegenwoordigen onbekende waarden, en kunnen met elkaar samenhangen in formules.

Elementaire algebra richt zich op het oplossen van concrete vergelijkingen met behulp van rekenkundige bewerkingen.

Abstracte algebra bestudeert algebraïsche structuren, zoals de ring van de gehele getallen: de verzameling ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ uitgerust met operaties van optelling (${\displaystyle +}$) en vermenigvuldiging (${\displaystyle \times }$).

Deel van een serie artikelen over Wiskunde
Formules van een stochastisch proces
Kwantiteit
Complex getal · Geheel getal · Natuurlijk getal · Oneindigheid · Reëel getal · Rekenkunde
Structuur en ruimte
Algebra · Functie · Getaltheorie · Goniometrie · Groepentheorie · Meetkunde · Topologie
Verandering
Analyse · Chaostheorie · Differentiaalrekening · Dynamische systemen · Vectoren
Toegepaste wiskunde
Discrete wiskunde · Grafentheorie · Informatietheorie · Kansrekening · Statistiek · Wiskundige natuurkunde
Portaal    Wiskunde

Elementaire algebra is de bekendste vorm van algebra die op scholen wordt onderwezen. Een belangrijk doel in elementaire algebra is het vinden van verbanden tussen variabelen en het oplossen van vergelijkingen. In de vergelijking ${\displaystyle 2x+3=7}$ kan men bijvoorbeeld de waarde van ${\displaystyle x}$ uitrekenen door een aantal algebraïsche stappen te volgen. Lineaire algebra is een nauw verwant deelgebied dat zich bezighoudt met het oplossen van lineaire vergelijkingen en stelsels, wat onder meer relevant is voor de beschrijving van vectoren.

Abstracte algebra gaat nog een stap verder, en bestudeert algebraïsche structuren, zoals groepen, ringen en velden en de regels waarmee deze zijn te beschrijven. Het is een generalisatie van de elementaire algebra, en wordt gebruikt als basis voor bijvoorbeeld algebraïsche meetkunde en algebraïsche getaltheorie. Algebra speelt een cruciale rol in het doorgronden van patronen, het modelleren van situaties uit de echte wereld en het maken van voorspellingen. Het wordt toegepast in veel vakgebieden, zoals wetenschap, techniek, logica, economie en informatica.

Algebraïsche methoden werden voor het eerst toegepast in de oudheid, veelal om concrete meetkundige problemen op te lossen. Wiskundige redeneringen werden later in de geschiedenis steeds ingewikkelder, waarvoor een strakker systeem van symbolen nodig was. Halverwege de 19e eeuw breidde de reikwijdte van algebra zich uit naar de theorie van complexere algebraïsche bewerkingen. De basisprincipes van algebra – zoals het werken met termen, vergelijkingen en formules – vormen de fundamenten voor meer geavanceerde onderwerpen in de wiskunde. Hierbij is te denken aan topologie, differentiaal- en integraalrekening en wiskundige logica.

Etymologie

Een bladzijde uit het boek al-djabr

Omstreeks het jaar 820 schreef de Perzische wiskundige Al-Chwarizmi in het Arabisch een boek over het rekenen met letters: hisab al-djabr wa al-muqabala (Arabisch: حساب الجبر و المقابلة). Het woord al-djabr uit de titel van dat boek betekent hereniging, verbinding of vervollediging en gaf aanleiding tot het algemene gebruik van het woord algebra in het Westen.

Het Nederlandse woord 'stelkunde' dat Simon Stevin probeerde in te voeren, werd nooit helemaal aanvaard.

Afbakening

Oorspronkelijk was algebra een veralgemening van de rekenkunde waarin letters de rol van getallen overnamen. Rond 1800 bestond algebra uit het gebruik van letters om "de verbeelding te bevrijden" (Gottfried Wilhelm Leibniz) bij het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen en het oplossen van vergelijkingen.^[1]

In de loop van de 19de eeuw maakte de algebra zich los van de rechtstreekse band met getallen en rekenkunde, en werden abstracte structuren gedefinieerd aan de hand van enkele elementaire eigenschappen van de bekende getallenverzamelingen: groepen, ringen, lichamen en vectorruimten. De algebra onderging een wiskundige revolutie die erin bestond dat ze zich verwijderde van het rekenwerk en zich ging toespitsen op het onderscheiden en benutten van de structurele basis van de wiskunde.^[2]

Men onderscheidt thans ook een dergelijke abstracte structuur die een algebra heet, en die bestaat uit een vectorruimte uitgerust met een vermenigvuldiging van vectoren.