Discrete-time Fourier transform

De discrete-time Fourier transform (of DTFT) maakt deel uit van de familie van de fouriertransformaties. Hij transformeert een functie ${\displaystyle f(n)}$ van een discrete-tijdsvariabele ${\displaystyle n}$, met ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, naar een continu, periodiek spectrum ${\displaystyle F(e^{i\omega })}$.

Definitie

De DTFT van ${\displaystyle f(n)}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle F(e^{i\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }}$

Met de inverse DTFT kan ${\displaystyle f(n)}$ uit de getransformeerde terugverkregen worden.

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F(e^{i\omega })\,e^{in\omega }\,{\rm {d}}\omega }$

Periodiciteit van de DTFT

De DTFT is periodiek met periode ${\displaystyle 2\pi }$, er geldt namelijk

${\displaystyle F(e^{i\omega })\,\!=F(e^{i(\omega +2\pi )})}$

Dit wordt als volgt bewezen.

${\displaystyle F(e^{i(\omega +2\pi )})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in(\omega +2\pi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }e^{-in2\pi }}$

Omdat ${\displaystyle e^{i2\pi }=\,\!1}$ (zie complex getal), is het bovenstaande gelijk aan

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }1^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }=F(e^{i\omega })}$

waarmee periodiciteit aangetoond is. Discreetheid in het ene domein leidt dus tot periodiciteit in het geconjugeerde domein.

Verschil tussen de DTFT en de DFT

De DTFT verschilt van de discrete fouriertransformatie (DFT) in zoverre dat de laatste een periodieke discrete-tijdfunctie ${\displaystyle f(n)}$ transformeert. Voor een tijdbegrensd signaal met tijdsduur ${\displaystyle N}$ gegeven door ${\displaystyle f(n):n\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$, bemonstert in feite de DFT met uniforme tussen-intervallen de DTFT op de punten ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$ in het frequentiedomein.

${\displaystyle F(k)=\left.F(e^{i\omega })\,\right|_{\omega =2\pi {\frac {k}{N}}}=\left.\sum _{n=0}^{N-1}f(n)\,e^{-i\omega n}\,\right|_{\omega =2\pi {\frac {k}{N}}}=\sum _{n=0}^{N-1}f(n)\,e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$

Relatie met de z-transformatie

De DTFT is een speciaal geval van de z-transformatie. De z-transformatie is als volgt gedefinieerd:

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,z^{-n}}$

Berekent men de z-getransformeerde voor ${\displaystyle z=e^{i\omega }}$, dan verschijnt de DTFT. (Daarom wordt voor de DTFT de notatie ${\displaystyle F(e^{i\omega })}$ geprefereerd boven de notatie ${\displaystyle F(\omega )}$.)

${\displaystyle \left.F(z)\right|_{z=e^{i\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }=F(e^{i\omega })}$

Merk op dat berekening van de DTFT voor ${\displaystyle z=e^{i\omega }}$ equivalent is met het berekenen van de z-getransformeerde op de eenheidscirkel in het complexe vlak.