Hessenbergmatrix

In de lineaire algebra is een hessenbergmatrix is een vierkante matrix waarin

• ofwel alle elementen onder de eerste benedendiagonaal gelijk zijn aan nul, men noemt dit een boven-hessenbergmatrix
• ofwel alle elementen boven de eerste bovendiagonaal gelijk zijn aan nul. Men noemt dit een beneden-hessenbergmatrix.

In de regel bedoelt men met een hessenbergmatrix een boven-hessenbergmatrix. Hessenbergmatrices zijn naar de Duitse wiskundige Karl Hessenberg 1904-1959 genoemd.

Voor een boven-hessenbergmatrix ${\displaystyle h}$ geldt:

${\displaystyle h_{ij}=0}$ voor alle ${\displaystyle i>j+1}$.

Voor een beneden-hessenbergmatrix ${\displaystyle h}$ geldt:

${\displaystyle h_{ij}=0}$ voor alle ${\displaystyle j>i+1}$.

Voorbeeld

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}}$

is een boven-hessenbergmatrix;

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

is een beneden-hessenbergmatrix.

Eigenschappen

De getransponeerde matrix van een beneden-hessenbergmatrix is een boven-hessenbergmatrix en vice versa.

De matrixvermenigvuldiging van een hessenbergmatrix met een driehoeksmatrix is ook een hessenbergmatrix: als ${\displaystyle A}$ een boven-hessenbergmatrix is en ${\displaystyle T}$ een bovendriehoeksmatrix, dan zijn ${\displaystyle AT}$ en ${\displaystyle TA}$ boven-hessenbergmatrices.

Een bandmatrix is een matrix die zowel een boven- als een beneden-hessenbergmatrix is.