voor zekere getallen . Het vlak is een lineaire variëteit van het vlak door de oorsprong (lineaire deelruimte) op afstand , gegeven door de vergelijking
Daaruit blijkt dat alle punten in dit vlak loodrecht staan op de vector , die dus normaalvector is, ook van de evenwijdige vlakken op afstand .
Een normaalvector op een oppervlak in drie dimensies in een punt van dat oppervlak is een normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.
Als een oppervlak in drie dimensies impliciet wordt gedefinieerd door de relatie , is een normaalvector in een punt van het oppervlak de gradiënt in dat punt:
Wordt het oppervlak beschreven door de functie, dan volgt uit het bovenstaande, met dat een normaalvector in het punt gegeven is door . Het raakvlak in wordt bepaald door de vergelijking:
Het is de lineaire variëteit met steunvector van de deelruimte opgespannen door de vectoren:
en
met .
Eenvoudig is te zien dat beide vectoren loodrecht staan op de normaalvector :
en
De normaalvector is ook het kruisproduct van de beide partiële afgeleiden van :
Een normaalvector heeft een bijbehorende genormeerde normaalvector (ook eenheidsnormaalvector genoemd) in dezelfde richting, maar met lengte 1. Een vlak heeft twee eenheidsnormaalvectoren, die elkaars tegengestelde zijn.
Uiteraard bestaat niet noodzakelijk overal een normaalvector, een kegel bijvoorbeeld heeft in zijn top geen normaalvector.