Oppervlakte

Dit artikel gaat over de maat van een tweedimensionale figuur; zie oppervlak voor andere betekenissen.

De oppervlakte van een vlakke meetkundige figuur, of algemener van een tweedimensionaal meetkundig object, is een maat voor de grootte ervan.

De SI-eenheid van oppervlakte is de vierkante meter: m², afgeleid van de basiseenheid meter. Voor algemene toepassingen in de Europese Unie is de vierkante meter, samen met zijn decimale onderdelen en veelvouden zoals cm² en km², de enige oppervlaktemaat. In gespecialiseerde toepassingen bestaan uitzonderingen:

• de are met zijn veelvoud hectare en zijn onderdeel centiare, in kadastrale registraties
• de barn voor de werkzame doorsnede van een deeltje in de kernfysica

In historische documenten uit de Nederlanden die van voor het metriek stelsel dateren, komen andere landmaten voor zoals de bunder, de dagwand en de roede.

Vlakke meetkunde

Basistechnieken

De oppervlakte van een vlakke figuur wordt gedefinieerd en berekend aan de hand van een aantal elementaire eigenschappen van het begrip oppervlakte, die eventueel kunnen worden opgevat als axioma's:

1. De oppervlakte is een isometrische invariant, dat wil zeggen dat een transformatie van het vlak die de onderlinge afstanden van punten bewaart (zoals een rotatie), tevens de oppervlakte van vlakke figuren bewaart.
2. De oppervlakte van een rechthoek is het product van de lengte met de breedte. In het bijzonder is de oppervlakte van een punt en die van een lijnstuk gelijk aan 0.
3. De oppervlakte van een disjuncte vereniging van vlakke figuren is gelijk aan de som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen. Dit laat achtereenvolgens de oppervlakteberekening toe van: (1) een parallellogram, door omvorming tot een rechthoek met dezelfde basis en hoogte; (2) een willekeurige driehoek, als zijnde de helft van een parallellogram; (3) een willekeurige veelhoek, door hem op te delen in driehoeken.
4. De regel van de disjuncte vereniging blijft gelden voor een aftelbaar oneindige disjuncte vereniging, waarbij de som van de oppervlakten moet worden opgevat als de som van een reeks.

De laatste regel laat toe de oppervlakte te bepalen van kromlijnige figuren zoals cirkels. De integraalrekening geeft een exacte definitie en een berekeningsmethode voor de oppervlakte van een vlakke figuur die begrensd wordt door de grafiek van een continue functie en een horizontale en twee verticale rechten.

Formules

Figuur	Kenmerken	Oppervlakte
vierkant	zijde ${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$
rechthoek	lengte ${\displaystyle a}$ en breedte ${\displaystyle b}$	${\displaystyle ab}$
rechthoekige driehoek	rechthoekszijden ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$
driehoek	basis ${\displaystyle c,}$ hoogte ${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}hc}$
driehoek	zijden ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle c,}$ halve omtrek ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ (formule van Heron)
driehoek	zijden ${\displaystyle a,b}$ en tussenliggende hoek ${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}$
trapezium	evenwijdige zijden ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle c,}$ hoogte ${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(a+c)}$
ruit	diagonalen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}pq}$
parallellogram	basis ${\displaystyle c,}$ hoogte ${\displaystyle h}$	${\displaystyle hc}$
parallellogram	zijden ${\displaystyle a,b}$ en tussenliggende hoek ${\displaystyle \gamma }$[1]	${\displaystyle ab\sin \gamma }$
regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek	zijde ${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}na^{2}\cdot \cot(\pi /n)}$
regelmatige zeshoek	zijde ${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}}$
cirkel	straal ${\displaystyle r}$	${\displaystyle \pi r^{2}}$
ellips	halve lange as ${\displaystyle a,}$ halve korte as ${\displaystyle b}$	${\displaystyle \pi ab}$

In sommige toepassingen is het nuttig met negatieve oppervlaktes te rekenen als de omtrek van een figuur in een andere zin wordt doorlopen (conventioneel geeft tegenwijzerzin een positieve oppervlakte). We spreken dan in het algemeen van georiënteerde oppervlakte.

De schoenveterformule is een eenvoudige regel voor de oppervlakte van een willekeurige veelhoek in termen van de coördinaten van de hoekpunten ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\ldots ,(x_{n},y_{n}):}$

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\ldots +x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\ldots -x_{1}y_{n}\right)}$

Ze kan worden bewezen door op te merken dat ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)}$ de georiënteerde oppervlakte is van de driehoek gevormd door de oorsprong ${\displaystyle (0,0)}$ en de punten ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ en ${\displaystyle (x_{i+1},y_{i+1}).}$

Zwaartepunt

Zie Zwaartepunt voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het zwaartepunt van een vlakke figuur heeft de eigenschap dat elke rechte erdoorheen, de figuur in twee delen van gelijke oppervlakte snijdt. De zwaartelijnen van een driehoek vormen hiervan een voorbeeld.

Isoperimetrische ongelijkheid

De oppervlakte ${\displaystyle S}$ van een cirkel is gelijk aan het kwadraat van zijn omtrek ${\displaystyle O,}$ gedeeld door ${\displaystyle 4\pi }$:

${\displaystyle S=\pi r^{2},\ O=2\pi r,\ S={\frac {O^{2}}{4\pi }}}$

De isoperimetrische ongelijkheid stelt dat deze verhouding optimaal is, in die zin dat voor eender welke andere vlakke figuur het isoperimetrisch quotiënt

${\displaystyle IQ={\frac {4\pi S}{O^{2}}}}$

niet groter is dan 1, en dat het alleen bij de cirkel precies gelijk is aan 1.

Voorbeeld

Bij een vierkant met zijde ${\displaystyle a}$ bedraagt de omtrek ${\displaystyle O=4a}$ en de oppervlakte ${\displaystyle S=a^{2}}$, dus

${\displaystyle IQ={\frac {4\pi S}{O^{2}}}={\frac {4\pi a^{2}}{16a^{2}}}={\frac {\pi }{4}}<1}$

Oppervlakte binnen een gesloten vlakke kromme

Als ${\displaystyle C}$ een stuksgewijs differentieerbare gesloten vlakke kromme is zonder zelfdoorsnijdingen en met het inwendige aan de linkerkant, dan volgt uit de stelling van Green een formule voor de oppervlakte van het inwendige:

${\displaystyle S={}\oint _{C}x\,\mathrm {d} y={}-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x}$

Voorbeeld

De cirkel met straal ${\displaystyle r}$ kan worden geparametriseerd als

${\displaystyle C:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}:t\mapsto (x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t)}$

Uit de eerste gelijkheid van de oppervlakteformule hierboven volgt dan

${\displaystyle S=\int _{t=0}^{2\pi }r\cos t\,\mathrm {d} (r\sin t)=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=\pi r^{2}}$

Maattheorie

Zie Maattheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De maattheorie definieert het begrip oppervlakte aan de hand van een abstracte maat. In de axioma's van een maat zit een regel vervat voor de disjuncte unie van een aftelbare collectie meetbare verzamelingen. Voor vlakke tweedimensionale figuren hanteert men de lebesgue-maat op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Voor gekromde oppervlakken bestaat enerzijds het volumebegrip uit de differentiaalmeetkunde, anderzijds de haar-maat uit de theorie der lokaal compacte groepen. Zo kunnen oppervlaktes worden toegekend aan een grote klasse van deelverzamelingen van willekeurige tweedimensionale gekromde ruimten, waaronder alle compacte deelverzamelingen.