Open afbeeldingsstelling

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de open afbeeldingsstelling, ook wel bekend als de stelling van Banach-Schauder (vernoemd naar Stefan Banach en Juliusz Schauder), een fundamenteel resultaat, dat stelt dat iedere continue lineaire afbeelding tussen banachruimten die surjectief is, ook een open afbeelding is.

Oorspronkelijke vorm

Banach^[1] formuleert de stelling in termen van rijen in F-ruimten, dat zijn topologische vectorruimten waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige tranlatie-invariante metriek. Elke banachruimte is per definitie een F-ruimte.

Als een continue lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ een F-ruimte ${\displaystyle X}$ surjectief afbeeldt op een F-ruimte ${\displaystyle Y}$, en ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n},\ldots )}$ is een rij in ${\displaystyle Y}$ die convergeert naar ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$, dan bestaat er een rij ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots )}$ in ${\displaystyle X}$ die naar ${\displaystyle x}$ convergeert en zodanig is dat voor elke ${\displaystyle n}$ geldt dat ${\displaystyle f(x_{n})=y_{n}}$.