In de verzamelingenleer is een ordinaalgetal of ordinaal een generalisatie van het begrip natuurlijk getal. Net zoals met de natuurlijke getallen de elementen in een eindige verzameling in een volgorde gezet kunnen worden door de elementen te tellen, zijn ordinaalgetallen ook een soort getallen om objecten in een gegeven volgorde te plaatsen.

Thumb
Representatie van de ordinalen tot en met ωω. Iedere omwenteling in de spiraal representeert een factor ω.

Definitie

De definitie van een ordinaalgetal maakt gebruik van beginsegmenten van welgeordende verzamelingen. Een beginsegment bestaat uit alle elementen die in de volgorde voor een bepaald gegeven element liggen, dus

  • Een beginsegment van een welgeordende verzameling is een verzameling .
  • Een ordinaal is een welgeordende verzameling waarvoor geldt dat voor alle in , dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is.

Opvolger-ordinaal

Bij iedere ordinaal kan een nieuwe ordinaal, de opvolger-ordinaal, gevonden worden.

Uitgaande van de lege verzameling ontstaan zo de verzamelingtheoretische voorstellingen van de natuurlijke getallen, waarbij voor de lege verzameling staat:

  • , de lege verzameling. Er zijn geen natuurlijke getallen kleiner dan 0.
  • enzovoort

Dit is dus een inductieve verzameling. Maar er bestaan nog meer ordinalen.

Limietordinaal

Een limietordinaal wordt gedefinieerd als een ordinaal die niet leeg is en ook geen opvolger van een ordinaal. Een limietordinaal is de verzameling van alle kleinere ordinalen. Een voorbeeld van een limietordinaal is , de ordinaal van de natuurlijke getallen.

De ordinaal met zijn opvolgers vormen de rij . De limietordinaal van alle ordinalen tot en met deze rij is . De ordinaal met zijn opvolgers vormen de rij , . Deze "opeenvolging van oneindig veel rijen" heeft ook een limietordinaal, , enzovoort. De volgende limietordinalen zijn . Zo krijgen we alle "polynomen" in met niet-negatieve gehele coëfficiënten. De volgende limietordinaal is de verzameling daarvan, aangeduid als . Hier kan weer elk van de voorgaande ordinalen bij worden opgeteld. Vervolgens is er dan de limietordinaal . Verdergaand (na veel tussenstappen) zijn er ook , , en

Deze ordinalen, en meer, zijn allemaal aftelbaar. De verzameling van alle aftelbare ordinalen is de kleinste overaftelbare ordinaal, . Er zijn dus ook overaftelbaar veel aftelbare ordinalen. Zie ook onder.

Bewerkingen op ordinalen

Optellen en vermenigvuldigen van ordinalen wordt hieronder steeds gedefinieerd in termen van een welgeordende verzameling die de resulterende ordinaal representeert.

Optellen van twee ordinalen

De som van de ordinalen en

waarin en disjuncte verzamelingen zijn die gelijkmachtig zijn met respectievelijk en , en de vereniging zodanig welgeordend is dat voor alle geldt:

en dan
of dan geordend volgens respactievelijk of

Men kan bijvoorbeeld kiezen: en

Voorbeelden (met de elementen van de verzamelingen in volgorde geschreven):

2 + 3 = {0,1} + {0,1,2} = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (2,1)}, isomorf met {0,1,2,3,4} = 5.
, isomorf met

en

Som

met

en

Vermenigvuldigen

Merk op dat zowel optellen als vermenigvuldigen niet commutatief is. We hebben gezien

en verder geldt bijvoorbeeld

terwijl

Verdere bespreking

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.