journaal vrt maxWelsh genoot zijn jeugdopleiding bij Celtic FC. In maart 2018 ondertekende hij een contract tot medio 2020 bij de Schotse topclub.^[1] In augustus 2019 leende Celtic hem voor een seizoen uit aan tweedeklasser Greenock Morton FC.^[2] Welsh speelde in het seizoen 2019/20 vijftien competitiewedstrijden in de Scottish Championship, het vaakst als rechtsachter. In januari 2020 riep Celtic hem terug.^[3] Kort daarop maakte hij zijn officiële debuut voor Celtic: op 2 februari 2020 liet trainer Neil Lennon hem in de competitie starten tegen Hamilton Academical FC.^[4]

In augustus 2023 brak Celtic het contract van Welsh, die toen al meer dan 50 officiële wedstrijden had gespeeld voor Celtic in alle competities, open tot medio 2027.^[5]