Symmetrische tensor

In wiskunde, bedoelt men met symmetrische tensor een tensor die invariant is onder permutatie van zijn indices. Een tensor van orde r is dus symmetrisch indien

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}}$

voor elke permutatie σ van de getallen {1,2,...,r}.

Symmetrisatie

Men kan van elke tensor een gesymmetriseerde versie construeren, als volgt:

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

In woorden: neem het gemiddelde van alle tensoren, bekomen door permutatie van twee indices van de oorspronkelijke tensor. De bekomen tensor ${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}}$ noteert men ook wel als ${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T}$. Voor een symmetrische tensor is dus

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T=T}$

Voorbeelden

Veel tensoren die optreden in de natuurkunde zijn voor te stellen als symmetrische tensoren/tensorvelden. Voorbeelden zijn: mechanische spanning in een materiaal, anisotrope rek, enzovoort.

Ook onder de tensoren die voorkomen in de formulering van de algemene relativiteitstheorie zijn er veel symmetrisch: bijvoorbeeld de Einstein-tensor en de metriek.

Zie ook

• Symmetrische matrix
• Antisymmetrische tensor
• Tensor
• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie