Trilineaire poolverwantschap

Trilineaire poolverwantschap is een begrip uit de meetkunde van de driehoek.

De trilineaire poollijn ${\displaystyle l}$ van een punt ${\displaystyle P}$, dat binnen een driehoek ${\displaystyle \triangle ABC}$ ligt, is de perspectiviteitsas van ${\displaystyle \triangle ABC}$ en van de ceva-driehoek ${\displaystyle \triangle A_{2}B_{2}C_{2}}$ in ${\displaystyle \triangle ABC}$ ten opzichte van punt ${\displaystyle P}$. Het punt ${\displaystyle P}$ heet de trilineaire pool van ${\displaystyle l}$. Lijn ${\displaystyle l}$ en punt ${\displaystyle P}$ heten trilineair poolverwant.

Trilineaire poolverwantschap is een zelfduaal begrip.

Trilineaire poolverwantschap kan ook met de anti-ceva-driehoek in plaats van de ceva-driehoek worden gedefinieerd.

Ligging

${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle l}$ zijn trilineair poolverwant, dan en slechts dan als

• ${\displaystyle (A_{1},A_{2})}$ en ${\displaystyle (B,C)}$ harmonisch liggen,
• ${\displaystyle (B_{1},B_{2})}$ en ${\displaystyle (A,C)}$ harmonisch liggen en
• ${\displaystyle (C_{1},C_{2})}$ en ${\displaystyle (A,B)}$ harmonisch liggen.

De trilineaire poollijn van het punt ${\displaystyle (u:v:w)}$ is in barycentrische coördinaten de lijn ${\displaystyle vwx+uwy+uvz=0}$. De trilineaire pool van ${\displaystyle fx+gy+hz=0}$ is het punt ${\displaystyle (gh:fh:fg)}$.