Loading AI tools
Van Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een veelvlak of polyeder (Oudgrieks: πολύς, polýs, veel en ἕδρα, hedra, basis, vlak of zitvlak), is een wiskundig lichaam, dat uitsluitend door een eindig aantal veelhoeken wordt begrensd. De veelhoeken heten de zijvlakken en de lijnstukken waarin de veelhoeken elkaar raken, de ribben. De ribben komen in de hoekpunten van het veelvlak bij elkaar. Voorbeelden van veelvlakken zijn de balk, in het bijzonder de kubus en de piramide. Bij een veelvlak waarvan alle hoekpunten op dezelfde bol liggen is er een bolvormig veelvlak met de hoekpunten in dezelfde posities, met delen van grote cirkels als ribben, en met dezelfde symmetrie als het gewone veelvlak. Omgekeerd is er bij een bolvormig veelvlak alleen een gewoon veelvlak als van elk gekromd zijvlak de hoekpunten in een vlak liggen. Dit is onder het geval bij boldriehoeken en bij regelmatige bolveelhoeken.
De hoekpuntconfiguratie van een hoekpunt geeft in cyclische volgorde aan hoeveel zijden de zijvlakken rond een hoekpunt hebben, bijvoorbeeld 5.6.6 als een vijfhoek en twee zeshoeken samenkomen. Het aantal getallen is dus de valentie van het hoekpunt. De hoekpuntconfiguratie is ook aan de orde bij betegeling.
De ribben en hoekpunten van een veelvlak vormen een graaf. Daarom kan bijvoorbeeld graad gebruikt in de grafentheorie, het aantal zijden waarmee een knoop van een graaf is verbonden is, ook worden toegepast op hoekpunten van een veelvlak: het aantal ribben dat daar samenkomt.
Veelvlakken kunnen worden ingedeeld naar aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten en hun onderlinge relaties, zoals de cyclus van hoekpunten en ribben per zijvlak, cyclus van zijvlakken en ribben per hoekpunt. Een kubus kan bijvoorbeeld vervormd worden tot andere zesvlakken in dezelfde categorie, maar een vijfhoekige piramide en een driehoekige bipiramide zijn zesvlakken die bij deze indeling elk tot een andere categorie behoren. Bij een categorie waarbij de veelvlakken wat betreft de genoemde structuur chiraal zijn is er een categorie met de spiegelbeelden van die veelvlakken.
Er is verder voor ieder veelvlak een duaal veelvlak. Als er een tweeplaatsige relatie tussen twee veelvlakken bestaat, waarin de zijvlakken van het eerste veelvlak overeenkomen met de hoekpunten van het andere veelvlak en omgekeerd, heten zij elkaars duale veelvlak. Zo is de categorie van driehoekige bipiramiden, inclusief onregelmatige, de duale van de categorie waar onder meer het driehoekige prisma onder valt.
Twee verschillende zijvlakken van een veelvlak, die gelijkvormig zijn, zijn ook congruent.
Een niet-convex veelvlak is een zelfdoorsnijdend of een samengesteld veelvlak als zich ten aanzien van dat veelvlak gevallen voordoen van verschillende zijvlakken die op dezelfde veelhoek, zijvlak van het veelvlak, liggen. Zelfdoorsnijdend en samengesteld betekent niet hetzelfde: een zelfdoorsnijdend veelvlak is één geheel tussen zijvlakken, ribben en hoekpunten, terwijl een samengesteld veelvlak uit componenten bestaat, die zelf ieder weer een veelvlak zijn. Deze aparte zijvlakken op dezelfde veelhoek worden samen als één zijvlak beschouwd. De veelhoek telt als het zijvlak en doorsnijdt het lichaam. Iedere ribbe ligt op de plaats waar twee zijvlakken elkaar raken, maar de snijlijn van twee van zulke veelhoeken die elkaar doorsnijden, wordt niet als ribbe beschouwd. Ribben op dezelfde lijn, waarop twee veelhoeken elkaar raken, worden daarbij opgevat als één ribbe. Die ribben doorsnijden het lichaam. Maar het snijpunt van zo'n ribbe met een zijvlak dat de ribbe doorsnijdt, wordt niet als hoekpunt beschouwd.
Dit heeft invloed op het aantal zijvlakken, ribben en hoekpunten van het veelvlak, en op zijn regelmatigheid. In het bijzonder wordt een veelvlak met grote symmetrie soms opgevat als zelfdoorsnijdend of als een samengesteld veelvlak als daardoor het geheel op basis van de geldende criteria meer regelmatig wordt.
Bij veelvlakken die niet zelfdoorsnijdend of samengesteld zijn is er een verband tussen het aantal hoekpunten , het aantal ribben en het aantal zijvlakken , dat wordt gegeven door de formule van Euler:
Een veelvlak is zijvlaktransitief of isohedraal als er voor elk tweetal zijvlakken , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Dat betekent dat alle zijvlakken congruent zijn, dus zijn de zijvlaktransitieve veelvlakken de regelmatige veelvlakken en de kepler-poinsot-lichamen, de kepler-poinsot-lichamen als zelfdoorsnijdend veelvlak gezien.
Een veelvlak is ribbetransitief of isotoxaal als er voor elk tweetal ribben , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. en mogen daarbij niet zo worden gekozen, dat hetzelfde is als , maar dan in tegengestelde richting. Een nodige voorwaarde is dat alle ribben even lang zijn. Er zijn behalve de regelmatige veelvlakken twee convexe veelvlakken, die ribbetransitief zijn: de kuboctaëder (3.4.3.4) en de icosidodecaëder (3.5.3.5).
De zijvlaktransitieve veelvlakken zijn ribbetransitief.
Een veelvlak is hoekpunttransitief of isogonaal als er voor elk tweetal hoekpunten , van het veelvlak een isometrie bestaat die het veelvlak op zichzelf afbeeldt en daarbij op afbeeldt. Een nodige voorwaarde is dat in alle hoekpunten dezelfde soorten zijvlakken bij elkaar komen, in dezelfde of omgekeerde cyclische volgorde, anders gezegd dezelfde of tegengestelde hoekpuntconfiguratie hebben, en ook dat alle hoekpunten op een bol liggen. De gedraaide romboëdrisch kuboctaëder heeft in alle hoekpunten dezelfde hoekpuntconfiguratie, maar telt toch niet als hoekpuntransitief, omdat er geen isometrie van de gedraaide romboëdrisch kuboctaëder bestaat op zichzelf.
Transitiviteit is een begrip uit de groepentheorie. Een permutatiegroep is een groep , waarvan de elementen permutaties zijn van een gegeven rij , met willekeurig. Een permutatiegroep heet transitief, wanneer er voor ieder combinatie , beide element van , een permutatie is, zodat .
Een veelvlak heet uniform als het uitsluitend regelmatige veelhoeken als zijvlak heeft en hoekpunttransitief is. De hoekpuntconfiguratie is voor ieder hoekpunt dus hetzelfde en wordt de hoekpuntconfiguratie van het uniforme veelvlak genoemd. Er is bij een gegeven hoekpuntconfiguratie niet meer dan één uniform veelvlak, behalve dat er van de archimedische lichamen 3.3.3.3.4 en 3.3.3.3.5 elk twee chirale vormen bestaan.
De uniforme veelvlakken worden als volgt ingedeeld:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.