Agnesis heks

Agnesis heks er ei tredjegrads kurve som dannar ei løkke, kalla opp etter Maria Agnesi.

Agnesis heks med merka punkt.

Kurva er som følgjer. Ein startar med ein fast sirkel og vel eit punkt O på sirkelen. For eit anna punkt A på sirkelen trekkjer ein sekanten OA mellom punkt O og A. Punktet M ligg diametrisk ovanfor O. Linja OA skjer tangenten til M ved punktet N. Linja parallell til OM gjennom N, og linja vinkelrett til OM gjennom A skjer kvarandre ved P. Når ein flyttar på A vil vegen P går vere heksa.

Kurva er asymptotisk til tangen til sirkelen ved O.

Likningar

Ein animasjon som syner konstruksjonen av Agnesis heks.

Vi tenkjer at punktet O er origo og at M er på den positive y-aksen. Vi tenkjer at radiusen til sirkelen er a.

Kurva har då den kartesiske likninga

${\displaystyle \!y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$.

Merk at om a=1/2, så vert likninga enklare:

${\displaystyle \!y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

Parametrisk, om ${\displaystyle \theta \,}$ er vinkelen mellom OM og OA, målt med klokka, så er kurva definert av likningane

${\displaystyle \!x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta .\,}$

Ei anna parametrisering med ${\displaystyle \theta \,}$ som vinkelen mellom OA og x-aksen, mot klokka, er

${\displaystyle \!x=2a\cot \theta ,\ y=2a\sin ^{2}\theta .\,}$

Historie

Kurva vart studert av Pierre de Fermat i 1630, Guido Grandi i 1703, og av Maria Agnesi i 1748.^[1]

På italiensk heiter kurva la versiera di Agnesi som tyder «kurva til Agnesi». Frå tidleg av vart dette lese av professoren John Colson som «l'avversiera di Agnesi», der «avversiera» tyder «kvinne som set seg i mot Gud», som då vart identifisert som «heks», og feilomsetjinga vart hengande ved.^[2][3][4]