Aritmetisk rekkje

Ei aritmetisk rekkje, aritmetisk progresjon eller differensrekkje er ei talrekkje der skilnaden mellom to tal som følgjer etter kvarandre i rekkja alltid er den same.

I rekkja 3, 6, 9, 12 er til dømes skilnaden mellom to påfølgjande ledd alltid lik 3.

Sum

Summen av alle ledda i ei endeleg aritmetisk rekkje er lik mengda ledd gongar den halve summen av første og siste ledd.

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Ved å addere dei to sidene av likningane, forsvinn alle ledda som inneheld d:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Deler ein begge sider på 2 får ein den vanlege forma av likninga:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Ei alternativ form kjem av å setje tilbake: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

I 499 e.Kr. gav Aryabhata frå India denne metoden i Aryabhatiya (seksjon 2.18).^[1]

Eit døme med a_n = 3 + (n-1) opp til 50 ledd er:

${\displaystyle S_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.}$