Laplace-transformasjon

Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla ${\displaystyle s}$-planet^[1][2][3]. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

Definisjon

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$,

der ${\displaystyle f(t)}$ er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ er kompleks frekvens, ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$ er den imaginære eininga, ${\displaystyle \omega }$ er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet ${\displaystyle i}$ for den imaginære eininga, i staden for ${\displaystyle j}$. I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet ${\displaystyle j}$, for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet ${\displaystyle i}$.

Tosidig Laplace-transform

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$

Invers Laplace-transformasjon

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet (${\displaystyle s}$-planet) attende til tidsplanet^[4]:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{j2\pi }}\int _{\sigma _{1}-j\infty }^{\sigma _{1}+j\infty }F(s)e^{st}\,ds,}$

der ${\displaystyle \sigma _{1}}$ er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til ${\displaystyle F(s)}$, og ${\displaystyle F(s)}$ er avgrensa på integrasjonsvegen.

Operasjonar i s-planet

I ${\displaystyle s}$-planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med ${\displaystyle s}$, og integrasjon vert erstatta av divisjon med ${\displaystyle s}$, noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala ${\displaystyle x(t)}$ og ${\displaystyle h(t)}$ vert i tidsplanet utført som

${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)h(t-\tau )d\tau ,}$

der ${\displaystyle *}$ er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I ${\displaystyle s}$-planet tilsvarar dette multiplikasjon:

${\displaystyle Y(s)=X(s)H(s),}$

der ${\displaystyle X(s)}$ og ${\displaystyle H(s)}$ er Laplacetransformasjonane av ${\displaystyle x(t)}$ respektivt ${\displaystyle h(t)}$, som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i ${\displaystyle s}$-planet multiplikasjon i tidsplanet.

Praktisk bruk

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming^[4][5][6] og reguleringsteknikk^[7][8].

Sjå òg

• Fouriertransformasjon
• Z-transformasjon