Metrisk rom

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon

Eit metrisk rom ${\displaystyle (V,d)}$ er ei mengd ${\displaystyle V}$ der det er definert ein metrikk ${\displaystyle d}$, det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

${\displaystyle d:V\times V\to \mathbb {R} ^{+}}$

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle ${\displaystyle x,y,z\in V}$, har me

• (ikkje-negativitet) ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
• ${\displaystyle d(x,y)=0}$ viss og berre viss ${\displaystyle x=y}$
• (symmetri) ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
• (trekantulikskapen) ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$

Komplette metriske rom

Eit metrisk rom ${\displaystyle (V,d)}$ blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i ${\displaystyle V}$.

Mengda av reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ under metrikken ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ med same metrikk. I ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

ϵ {\displaystyle \epsilon } -omegn

Ein ${\displaystyle \epsilon }$-omegn til eit element ${\displaystyle a}$ i eit metrisk rom ${\displaystyle (V,d)}$ er definert som ei mengd

${\displaystyle \{x\in V|\ d(x,a)<\epsilon \}\,}$

Ei punktert ${\displaystyle \epsilon }$-omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \{x\in V|\ 0<d(x,a)<\epsilon \}\,}$

Avgrensa mengd i eit metrisk rom

Ei undermengd ${\displaystyle S}$ i eit metrisk rom ${\displaystyle (V,d)}$ er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt ${\displaystyle x\in S}$ og ein positiv konstant ${\displaystyle M}$ slik at for alle ${\displaystyle y\in S}$

${\displaystyle d(x,y)<M}$

Døme på metriske rom

• Mengda av reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ under metrikken ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ metrisk rom.
• Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå Wikipedia på bokmål, den 14. januar 2012.