Vektorrekning

Vektorrekning eller vektoranalyse, stundom kalla geometrisk addisjon, er ei grein innan matematikken som omhandlar derivasjon og integrasjon av vektorfelt, som regel eit tredimensjonalt euklidsk rom ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$ Omgrepet vert stundom nytta synonymt med det breiare temaet multivariabelrekning, som omfattar vektorrekning samt partiell derivasjon og fleirdoble integral. Vektorrekning spelar ei viktig rolle i differensiell geometri og i studiet av partielle differnsiallikningar. Det vert mykje nytta i fysikk og inteniørkunst, særleg i skildringa av elektromagnetisk felt, tyngdefelt og væskestraum.

Vektorrekning vart utvikla frå kvaternionanalyse av J. Willard Gibbs og Oliver Heaviside mot slutten av 1800-talet, og det meste av notasjonen og terminologien vart oppretta av Gibbs og Edwin Bidwell Wilson i boka deira Vector Analysis frå 1901.

Grunnleggande objekt

Dei grunnleggande objekta i vektorrekning er skalarfelt (funksjonar med skalarverdiar) og vektorfelt (funksjonar med vektorverdiar). Desse vert så kombinerte eller transformerte under forskjellige operasjonar og integrert. I meir avanserte handsamingar skil ein vidare mellom pseudovektorfelt og pseudoskalarfelt, som er identiske til vektorfelt og skalarfelt, botsett frå at dei endrar forteikn under eit omvendt orientert kart. Til dømes er curlen til eit vektorfelt eit pseudovektorfelt.

Vektoroperasjonar

Algebraiske operasjonar

Dei grunnleggande algebraiske operasjonane i vektorrekning vert kalla vektoralgebra, og er definert for eit vektorrom og så globalt nytta på eit vektorfelt og består av:

skalarmultiplikasjon

multiplikasjon av eit skalarfelt og eit vektorfelt, som gjev eit vektorfelt: ${\displaystyle a\mathbf {v} }$;

vektoraddisjon

addisjon av to vektorfelt, som gjev eit nytt vektorfelt: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$;

prikkprodukt

multiplikasjon av to vektorfelt, som gjev eit skalarfelt: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$;

kryssprodukt

multiplikasjon av to vektorfelt, som gjev eit vektorfelt: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$.

Differensialoperasjonar

Vektorrekning studerer forskjellige differensialoperatorar definert på skalar- eller vektorfelt, som evanlegvis vert uttrykket i form av del-operatoren (${\displaystyle \nabla }$). Dei fire viktigaste differnsialoperasjonane i vektorrekning er:

Operasjon	Notasjon	Skildring	Domene/område
Gradient	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Måler raten og retninga til endringa i eit skalarfelt.	Avbilding av skalarfelt til vektorfelt.
Curl	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Måler rotasjonstendensen til eit punkt i eit vektorfelt.	Avbildar vektorfelt til (pseudo)vektorfelt.
Divergens	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Måler storleiken av tilførsel eller sluk for eit visst punkt i eit vektorfelt.	Avbildar vektorfelt til skalarfelt.
Laplace	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Ein samansetnad av divergensen og gradientoperasjoane.	Avbildar skalarfelt til skalarfelt.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Vector calculus» frå Wikipedia på engelsk, den 15. september 2011.