Kulekoordinater
From Wikipedia, the free encyclopedia
Kulekoordinater er et tredimensjonalt koordinatsystem. Posisjonen til et punkt er gitt ved en radiell koordinat r som angir avstanden fra et fast origo samt to vinkler (θ,φ) som angir retningen til punktet. Disse tre koordinatene tilsvarer derfor et punkt på en kuleflate med radius r, noe som har gitt opphav til navnet kulekoordinater. Alternativt blir også navnet sfæriske koordinater benyttet.
Vinkelen θ måles ut fra en polar akse som står loddrett på et plan. Projeksjonen av punktet ned i dette planet har en azimutal vinkel som er φ. Denne varierer derfor i intervallet 0° - 360°, mens den polare vinkelen θ varierer i intervallet 0° - 180°. Uttrykt i radianer tilsvarer det at θ varierer mellom 0 og π , mens φ varierer mellom 0 og 2π . På Jordens overflate tilsvarer disse to vinklene geografiske koordinater hvor φ er lengdegrad og 90° - θ er breddegrad.
Benyttes et kartesisk koordinatsystem (x,y,z) med z-aksen langs den polare aksen, vil sammenhengen mellom koordinatene i disse to systemene være gitt som[1]
når den azimutale vinkelen måles ut fra x-aksen.
Kulekoordinater kan generaliseres til rom med et vilkårlig antall dimensjoner. For to dimensjoner tilsvarer de polarkoordinater. I alle dimensjoner vil en av koordinatene angi avstanden til et punkt fra origo, mens de andre angir et punkt på en multidimensjonal kuleflate. De kan benyttes også i generell relativitetsteori og kalles da for Schwarzschild-koordinater etter Karl Schwarzschild som benyttet dem til å finne den første beregning av et sort hull. Den radielle koordinaten r angir da ikke lenger en avstand fra et origo, men har en mer abstrakt betydning.[2]