Variasjonsregning
From Wikipedia, the free encyclopedia
Variasjonsregning er en matematisk metode for å løse problem som har med optimalisering å gjøre. Et klassisk eksempel er å finne formen på baugen til en båt slik at den beveger seg med minst mulig motstand gjennom vannet. Eller hva slags kurve skal en partikkel følge slik at den faller raskest mulig i tyngdefeltet? Et tilsvarende problem er å finne den korteste avstand mellom to punkt på en flate..
Løsningen som variasjonsregningen gir av disse problemene, er en videreføring av derivasjon som kan bestemme maksimum eller minimum av funksjoner. En funksjon f(x) har en ekstremalverdi for en viss verdi av argumentet x der den deriverte er null, det vil si hvor df/dx = 0 . Inneholder funksjonen flere variable, må den deriverte for hver av dem være null.
Et mer komplisert problem oppstår når man skal finne en funksjon y = y(x) som gir en ekstremalverdi av et bestemt integral som
hvor = dy/dx. I endepunktene av integrasjonen antar funksjon i integranden fikserte verdier yA = y(xA) og yB = y(xB) . For hvert valg av funksjonen y vil integral I ta en ny verdi. Det er derfor en funksjon av funksjonen y(x). Man kaller integralet en funksjonal og skriver I = I[y] .
Slike problem ble først undersøkt og til en viss grad løst allerede av Isaac Newton og Jakob og Johann Bernoulli ved hjelp av geometriske betraktninger i slutten av 16-hundretallet. Analytiske metoder ble først systematisk benyttet av Leonhard Euler som i 1744 publiserte ligningen
som må oppfylles av funksjonen som gir en ekstremalverdi. Han kom frem til dette resultatet ved en delvis geometrisk metode som tilsvarer å splitte opp intervallet mellom xA og xB i et stort antall diskrete punkt xk slik at integralet kan skrives som en endelig sum. Det er da en vanlig funksjon av et stort antall funksjonsverdier yk = y(xk) . Dens ekstremalpunkt kan nå finnes ved vanlig derivasjon. I den kontinuerlige grensen kommer så ligningen frem. Noen få år senere viste Joseph Louis Lagrange som da bare var 19 år gammel, at han kunne utlede den mye mer direkte ved hjelp av variasjoner rundt den søkte løsning. Euler var med en gang overbevist om metodens fortreffelighet, og det er denne rent analytiske metode som brukes i dag. Derfor kalles ligningen også for Euler-Lagrange ligningen.
Variasjonsregning spiller en viktig rolle i moderne, teoretisk fysikk hvor dynamikken for et system kan utledes fra prinsippet om minste virkning. Løsningen av den resulterende Euler-Lagrange ligningen sier hvordan systemet klassisk forandrer seg i tid og rom. Den danner også grunnlaget for å beskrive systemet kvantemekanisk.