Arbelos

En arbelos er i geometri en plan figur avgrenset av tre halvsirkler. Diameteren til alle halvsirklene ligger på en og samme linje, kalt grunnlinjen, og hver halvsirkel deler et hjørne med en av de andre halvsirklene.^[1][2]

En arbelos, vist med det fargede området

Skomakerkniv som har gitt navn til figuren

Navnet «arbelos» kommer fra gresk og betyr «skomakerkniv».^[3] Kniven hadde en fasong som lignet på arbelosen.

Den greske matematikeren Arkimedes introduserte figuren i Lemma-boken og studerte egenskaper i Påstand 4 - Påstand 8.^[2][4] Denne boken har ikke overlevd på originalspråket, men ble oversatt fra arabisk til latin, med tittel Liber assumptorum.

Egenskaper

Geometri knyttet til arealet av en arbelos

De to minste halvsirklene inngår konkavt i figuren og har vilkårlige diametre ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$. Den største halvsirkelen er konveks, med diameter ${\displaystyle a+b}$. Arbelosen har en rekke «elegante» geometriske egenskaper.

Buelengde

Den største halvsirkelen har en lengde som er lik summen av lengdene til de to minste sirklene. Den totale buelengden til arbelosen er

${\displaystyle L=2\pi (a+b)}$

Areal

Arealet ${\displaystyle S}$ til arbelosen er gitt ved å ta arealet av den store halvsirkelen og trekke fra arealet av de to små. Dette gir

${\displaystyle S={\frac {1}{8}}\left(\pi (a+b)^{2}-\pi a^{2}-\pi b^{2}\right)={\frac {1}{4}}\pi ab}$

La B være det felles punktet for de to minste halvsirklene. Punktet D ligger på den største sirkelbuen og BD er normal til grunnlinjen. Da er arealet av arbelosen lik arealet av en sirkel med diameter BD. Dette ble vist av Arkimedes i Påstand 4. Ved å sette ${\displaystyle x=AD}$, ${\displaystyle y=CD}$ og ${\displaystyle h=BD}$ kan en finne diameteren i sirkelen ${\displaystyle h}$ fra de tre ligningene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a^{2}+h^{2}&=x^{2}\\b^{2}+h^{2}&=y^{2}\\x^{2}+y^{2}&=(a+b)^{2}\end{alignedat}}}$

Ligningene framkommer ved gjentatt bruk av Pythagoras’ læresetning. Kombinasjon av ligningene gir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}h&={\sqrt {ab}}\\x&={\sqrt {a(a+b)}}\\y&={\sqrt {b(a+b)}}\end{alignedat}}}$

Fra dette følger det at ${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\pi h^{2}}$.

Arkimedes' sirkler vist i rødt, med en omskrevet sirkel vist i grønt.

Sirkelen gjennom BD har sentrum i F og går også gjennom to punkt E og G, og alle disse tre punktene ligger på den felles tangenten til de to minste halvsirklene som definerer arbelosen.^[5] Sirkelsentrum F deler selvsagt begge linjestykkene BD og EG i to like deler.

Arkimedes' sirkler

Normalen BD deler arbelosen i to deler, hver del begrenset av den største sirkelbuen, normalen BD og en liten sirkelbue. De to sirklene som er innskrevet i disse områdene kalles Arkimedes' (tvilling)sirkler. Arkimedes viste i Påstand 5 at de to sirklene er like store. Diameteren i tvillingssirklene er

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}}$

Et nyere bevis for dette resultatet er funnet av Karen Sofie Ronæss, vesentlig enklere enn Arkimedes' bevis.^[6]

Den minste sirkelen som kan omskrives de to Arkimedes-sirklene, har samme areal som arbelosen.^[5]

Pappos-kjede

Arbelos med Pappos-kjede av sirkler

Arbelosen har en innskrevet sirkel som tangerer alle de tre halvsirklene. Med denne som utgangspunkt kan en lage to følger av tangentsirkler, der hver sirkel i følgen tangerer den største halvsirkelen, en av de mindre halvsirklene samt den foregående sirkelen i følgen. Avhengig av om en velger den minste eller nest-minste halvsirkelen vil en få to ulike sirkelfølger. En slik følge av tangentsirkler kalles en Pappos-kjede av sirkler. Pappos fra Alexandria studerte egenskaper til disse sirklene.^[7] La sirkelen som tangerer alle tre halvsirklene være sirkel nummer 1. Hvis diameteren i sirkel nummer ${\displaystyle n}$ betegnes ${\displaystyle d_{n}}$, og normalen fra sentrum i denne sirkelen ned på grunnlinjen har lengde ${\displaystyle p_{n}}$, så viste Pappos at

${\displaystyle p_{n}=nd_{n}}$

Ifølge Pappos var dette et gammelt resultat.