Kubikkrot

Kubikkroten av et reelt tall ${\displaystyle a}$ er det unike, reelle tallet som opphøyd i 3. potens blir ${\displaystyle a}$, altså løsningen til ligningen ${\displaystyle x^{3}=a}$. Kubikkroten av ${\displaystyle a}$ skrives ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}=a^{\frac {1}{3}}\ .}$

For eksempel er ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}$ fordi ${\displaystyle 3^{3}=27\,}$ og ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$ fordi ${\displaystyle (-2)^{3}=-8\ .}$

Iblant blir kubikkrot brukt som navn på en løsning til ligningen ${\displaystyle x^{3}=a}$ også i andre situasjoner, f.eks. når ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle x}$ er komplekse tall. Da er kubikkroten til ${\displaystyle a}$ ikke entydig gitt, fordi ligningen har mer enn én løsning.

Plott av ${\displaystyle y=x^{3}}$. Plottet er symmetrisk med hensyn til origo, ettersom den er en odde funksjon. Ved ${\displaystyle x=0}$ har denne grafen en vertikal tangent.

I den venstre terningen er alle sidene ${\displaystyle =1}$ og volumet ${\displaystyle =1}$. I den høyre terningen er volumet ${\displaystyle =2}$ og alle sidene ${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{2}}\approx 1.25992105...}$ .

En kubikkrot av et tall ${\displaystyle x}$ er et tall slik at ${\displaystyle a^{3}=x}$. Alle reelle tall (unntatt null) har nøyaktig én reell kubikkrot og ett par av komplekskonjugerte kubikkrøtter, og alle komplekse tall forskjellig fra null har tre forskjellige komplekse kubikkrøtter. For eksempel er den reelle kubikkroten av ${\displaystyle 8\ }$ betegnet ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}\ ,\ 2\ ,}$ fordi ${\displaystyle 2^{3}=8\ ,}$ mens de andre kubikkrøttene av ${\displaystyle 8}$ er ${\displaystyle -1+{\sqrt {3}}i\ }$ og ${\displaystyle -1-{\sqrt {3}}i\ .}$
De tre kubikkrøttene av ${\displaystyle 27}$ er

${\displaystyle 3\ ,\quad -{\frac {3}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\quad {\text{og}}\quad -{\frac {3}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\ .}$

Mens de tre kubikkrøttene av ${\displaystyle -27i}$ er

${\displaystyle 3i\ ,\quad {\frac {3}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\quad {\text{ og }}\quad {\frac {3}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\ .}$

Kubikkrot-operasjonen er ikke assosiativ eller distributiv med addisjon eller subtraksjon.

I noen sammenhenger, spesielt når radikanden er et reelt tall, er det én av røttene (i dette tilfellet den reelle) som betegnes som den prinsipale kubikkrot og noteres med rottegnet ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{^{\ }}}}$. Kubikkrot-operasjonen er assosiativ med eksponentiering og distributiv med multiplikasjon og divisjon hvis man bare tar reelle tall med i betraktningen, men ikke alltid med komplekse tall: for eksempel er kuben av en hvilken som helst kubikkrot av ${\displaystyle 8}$ lik ${\displaystyle 8}$, men de tre kubikkrøttene av ${\displaystyle 8^{3}}$ er ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle -4+4{\sqrt {3}}i}$ og ${\displaystyle -4-4{\sqrt {3}}i\ .}$

Egenskaper

Følgende viktige egenskaper for kubikkrøtter gjelder for alle positive, reelle tall ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ (ifølge potensreglene):

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{xy}}={\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{3}}}=x}$ for hvert reelle tall ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}=x^{0{,}333...}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}}$

Kubikkroten av et heltall som ikke er en jevn kube av et heltall er ett irrasjonalt tall.

Kubikkroten av 27 hele tall

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}=1}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}259\;921\;049\;894\;873\;164\;767\;210}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}\approx 1{,}442\;249\;570\;307\;408\;382\;321\;638}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587\;401\;051\;968\;199\;474\;751\;705}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}\approx 1{,}709\;975\;946\;676\;696\;989\;353\;108}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}\approx 1{,}817\;120\;592\;832\;139\;658\;891\;211}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}\approx 1{,}912\;931\;182\;772\;389\;101\;199\;116}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}\approx 2{,}080\;083\;823\;051\;904\;114\;530\;056}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}\approx 2{,}154\;434\;690\;031\;883\;721\;759\;293}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{11}}\approx 2{,}223\;980\;090\;569\;315\;521\;165\;363}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{12}}\approx 2{,}289\;428\;485\;106\;663\;735\;616\;084}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{13}}\approx 2{,}351\;334\;687\;720\;757\;489\;500\;016}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{14}}\approx 2{,}410\;142\;264\;175\;229\;986\;128\;369}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{15}}\approx 2{,}466\;212\;074\;330\;470\;101\;491\;611}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{16}}\approx 2{,}519\;842\;099\;789\;746\;329\;534\;421}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{17}}\approx 2{,}571\;281\;590\;658\;235\;355\;453\;187}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{18}}\approx 2{,}620\;741\;394\;208\;896\;607\;141\;661}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{19}}\approx 2{,}668\;401\;648\;721\;944\;867\;339\;627}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{20}}\approx 2{,}714\;417\;616\;594\;906\;571\;518\;089}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{21}}\approx 2{,}758\;924\;176\;381\;120\;669\;465\;791}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{22}}\approx 2{,}802\;039\;330\;655\;387\;120\;665\;677}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{23}}\approx 2{,}843\;866\;979\;851\;565\;477\;695\;439}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{24}}\approx 2{,}884\;499\;140\;614\;816\;764\;643\;276}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}\approx 2{,}924\;017\;738\;212\;866\;065\;506\;787}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{26}}\approx 2{,}962\;496\;068\;407\;370\;508\;673\;062}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}$

Historie

Utregningen av kubikkrøtter kan spores tilbake til Babylonske matematikere fra så tidlig som 1800 f.Kr.^[1]