Kvadratroten av 2

Kvadratroten av 2 er det tallet som gir 2 når det multipliseres med seg selv. Det er et irrasjonalt tall og symboliseres som ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (se kvadratrot). Tallet har en tilnærmet verdi på 1,414 213 562 373 095 048 801 688 7… .

Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Bevis for irrasjonalitet

At kvadratroten av 2 er irrasjonal, kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis (som for første gang ble beskrevet av Evklid i det 3. århundre f.Kr.):

Anta at ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall, ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$, slik at ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}}$. Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\Rightarrow a^{2}=2b^{2}}$. Vi ser at ${\displaystyle 2b^{2}}$ er et partall, siden det har ${\displaystyle 2}$ som faktor. Siden da også ${\displaystyle a^{2}}$ er et partall, er ${\displaystyle a}$ et partall, og vi kan skrive det som ${\displaystyle 2n}$. Da får vi ${\displaystyle (2n)^{2}=2b^{2}\Rightarrow 4n^{2}=2b^{2}}$. Forkorter vi, får vi ${\displaystyle 2n^{2}=b^{2}}$, og dermed må ${\displaystyle b^{2}}$ også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og ${\displaystyle 2}$), og dermed er også ${\displaystyle b}$ et partall. Men siden både ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er partall, så kan faktisk brøken ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ forkortes mer (siden de begge har ${\displaystyle 2}$ som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort én eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av ${\displaystyle 2}$ er et irrasjonalt tall.

Forekomst i naturen

I hjernen finnes det gitterceller, oppdaget i 2005 av en gruppe ledet av May-Britt og Edvard Moser. «Gittercellene ble funnet barkområdet som ligger rett ved hippocampus[...] I den ene enden av dette barkområdet er maskestørrelsen liten og i den andre er den kjempe stor. Økningen i maskestørrelse er imidlertid ikke overlatt tilfeldighetene, men øker med kvadratroten av to, fra ett område til det neste.»^[1]