Laplace-operator

Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon ${\displaystyle f}$ skrives som regel som ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}$, ${\displaystyle \nabla ^{2}f}$ eller ${\displaystyle \Delta f}$, der ${\displaystyle \nabla }$ er nabla-operatoren^[1].

Definisjon

Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f.}$

Merk at ${\displaystyle f}$ må være to ganger deriverbar og at ${\displaystyle \nabla }$ er definert ved:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$

Forskjellige koordinatsystem

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

der ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ er standard kartesiske koordinater i ${\displaystyle xy}$-planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}$

der ${\displaystyle r}$ er avstand fra origo og ${\displaystyle \theta }$ er vinkel i forhold til det man vil kalle ${\displaystyle x}$-aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

der ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle z}$ er standard kartesiske koordinater i ${\displaystyle xyz}$-rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

der ${\displaystyle r}$ er avstand fra origo til projeksjonen i ${\displaystyle xy}$-planet, ${\displaystyle \theta }$ er vinkel i forhold til det man vil kalle ${\displaystyle x}$-aksen i et kartesisk koordinatsystem, og ${\displaystyle z}$ er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.}$

der ${\displaystyle r}$ er avstand fra origo og ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ angir vinkelen.

Se også

• Gradient
• Divergens
• Curl