Prims algoritme

Prims algoritme er en grådig algoritme innen grafteori som finner minste spenntre i en vektet graf. Den ble oppdaget av Vojtěch Jarník i 1930,^[1] og senere, uavhengig, av Robert Clay Prim i 1957^[2] (samt Edsger Dijkstra, 1959). Således benevnes den også DJP-algoritmen eller Jarniks algoritme.

Initielt

1. man har en graf med noder V og kanter E
2. sett MST til å være en vilkårlig valgt node i V

Sålenge det er noder i V som ikke ligger i MST

1. finn en kant i E som til lavest kostnad (og uten at det gir syklus), kobler en node u i MST, med en node v som ikke er i MST.
2. legg ( u , v ) til MST

Avslutningsvis

1. det minimale spenntre består av kantene i MST

Algoritmen har en tidskompleksitet på O(|E| log|V|), og er avhengig av hvordan man finner rimeligste tilleggs-kant i hver runde. Med en Fibonnaciheap, vil tidskompleksiteten bli O(|E| + |V|log|V|).

Eksempel

Image	Beskrivelse	Ukjent	Nærmeste omkrets	MST
	Den opprinnelige vektede graf. Hver kant har en angitt kostnad. Utgangspunkt er D.	C, G	A, B, E, F	D
	Neste node som innlemmes i MST er A (til kostnad 5). Innlemmede kanter vises i grønt.	C, G	B, E, F	A, D
	Dernest velges den rimeligste nabo til en av D eller A, hvilket blir F.	C	B, E, G	A, D, F
	Etter at B (den rimeligste nabo til A, D og F) innlemmes i MST, ser en (merket med rødt) at noen av kantene ikke kan velges heretter, da de gir rundtur (syklus).	null	C, E, G	A, D, F, B
	E innlemmes.	null	C, G	A, D, F, B, E
	C innlemmes.	null	G	A, D, F, B, E, C
	G er det eneste gjenstående, og innlemmes i det nå ferdige MST som har kostnad 39.	null	null	A, D, F, B, E, C, G

Bevis for korrekthet

La P være en sammenhengende graf. For hver iterasjon må Prims algoritme finne en kant som kobler sammen en node i en subgraf av P med en node utenfor subgrafen. Siden P er sammenhengende vil det alltid være en vei til alle nodene. La resultatet av Prims algoritme være Y. Vi vet at Y er et tre siden kanten og noden som ble lagt til Y er sammenhengende. La Y₁ være et kjent minimalt spenntre for grafen P. Hvis Y₁ = Y så er Y et minimalt spenntre for P. Hvis ikke så la e være den første kanten som ble lagt til ved å sette sammen Y og som ikke er med i Y₁, og V være mengden som inneholder nodene koblet sammen av de kantene som ble lagt til før e. Da vil den ene enden av e være i mengden V og den andre ikke. Siden Y₁ er et spenntre for P er det slik at en vei T må koble disse sammen. Hvis man følger veien T må man finne en kant f som kobler en node i V til en node som ikke er i V. Så da e ble lagt til treet Y ville f ha blitt lagt til i stedet for e hvis vekten var mindre enn e og siden f ikke ble lagt til må vi konkludere med at vekten til f er større eller lik vekten til e. La Y₂ være treet vi får ved å fjerne kanten f og legge til e. Det er lett å se at Y₂ er sammenhengende, har samme antall noder som Y₁ en total vekt som ikke er større enn Y₁. Det er derfor også et minimalt spenntre for grafen P som inneholder e og kantene som var lagt til før e. Hvis vi repeterer trinnene ovenfor kan vi finne et minimalt spenntre for P som er lik Y.