Stokes-parameter

Stokes-parameter er én av i alt fire målbare størrelser som beskriver egenskapene til elektromagnetisk stråling når den har en viss grad av polarisasjon. Opprinnelig ble de benyttet primært for lys og ble i den forbindelse innført av George Stokes allerede i 1852. Først i moderne tid fikk de sitt navn knyttet til ham etter at parametrene fant stadig nye anvendelser på vidt forskjellige områder innen optikk og astrofysikk.

Stokes-parametrene kan representeres ved punkter på Poincaré-sfæren med radius p S₀  hvor p  er polarisasjonsgrad og intensitet I = S₀ .

Mens den første parameteren S₀ angir strålingens intensitet, karakteriserer de tre andre S₁, S₂ og S₃ dens polarisasjon. Det tilsvarer i hvilken grad p  den er polarisert samt de to parametrene som inngår i beskrivelsen av strålingens polarisasjonsellipse. Avhengig av bruksområde kan parametrene opptre med andre navn. Mest vanlig er da å benytte I, Q, U og V.

Ofte er det fordelaktig å betrakte de fire Stokes-parametrene som komponenter til en Stokes-vektor. Forandres strålingen ved en vekselvirkning med en eller annen innretning, kan resultatet beregnes som en transformasjon av den opprinnelige vektoren gitt ved en 4×4 matrise som karakteriserer innretningen. Dette er på analogt vis som for Jones-kalkulus hvor slike transformasjoner beskrives ved 2×2 matriser, men som kun kan benyttes for stråling som er 100% polarisert.

Teoretisk bakgrunn

Graden av polarisasjon av en viss type kan måles ved bruk av forskjellige polarimeter. Når det gir samme verdi uavhengig av innstilling, er der ingen polarisasjon og strålingen sies å være «upolarisert».Vanligvis vil man man finne en mellomverdi som tilsvarer delvis eller partiell polarisasjon.

En monokromatisk bølge er alltid 100% polarisert. Matematisk kan den beskrives som en kompleks fasevektor, noe som er spesielt hensiktsmessig når dens polarisasjon skal beregnes. Bølgens elektriske felt kan da skrives som den reelle delen av fasevektoren

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}$

når den beveger seg langs z-aksen med vinkelfrekvens ω = kc og bølgetall k. Den vektorielle amplituden E₀ er da en vektor i xy-planet med den generelle formen ${\displaystyle \mathbf {E} _{0}=E_{x}\mathbf {e} _{x}+E_{y}\mathbf {e} _{y}}$ hvor amplitudene E_x  og E_y  generelt er komplekse, konstante tall. Herav kan dens elliptiske polarisasjon. Den er lineær når begge disse amplitudene er reelle.^[1]

Vanligvis vil slik elektromagnetisk stråling oppstå på en slik måte at de to amplitudene ikke er konstante. Synlig lys for eksempel skyldes bidrag fra et stort antall atomer som emitterer fotoner på en inkoherent måte uavhengig av hverandre. Da vil amplitudene variere svært raskt med tiden slik at feltvektoren tar formen

${\displaystyle \mathbf {E} (t)=E_{x}(t)\mathbf {e} _{x}+E_{y}(t)\mathbf {e} _{y}}$

når man ser bort fra den komplekse eksponensialfunksjon som angir selve bølgebevegelsen. Den instantane intensiteten følger nå fra ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}\cdot \mathbf {E} .}$ Men ikke noe praktisk måleapparat kan følge den raske tidsvariasjonen som dette produktet gir. I stedet registrerer dette en midlere verdi som formelt kan beregnes over et endelig tidsrom hvis man kjenner den underliggende prosessen. På dette viset kan den observerte intensiteten skrives som

${\displaystyle I=\langle \mathbf {E} ^{*}(t)\cdot \mathbf {E} (t)\rangle =\langle E_{x}^{*}(t)E_{x}(t)\rangle +\langle E_{y}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle }$

Eventuelle fasefaktorer i amplitudene vil ikke bidra i denne middelverdien. De har en avgjørende innflytelse på bølgens polarisasjon.^[2]

Definisjoner

Hver av middelverdiene kan måles ved bruk av et polarimeter. Den første er gitt ved intensiteten når dette registrerer kun lys polarisert i x-retning, mens den andre når det er polarisert i y-retning.

En fullstendig bestemmelse av en bølges polarisasjon skal gi informasjon om polarisasjonsellipsens form og om den er høyre-´eller venstredreidd. Mens to første egenskapene kan finnes fra målinger av asymmetrien i den lineære polarisasjon i to ulike retninger, kan den siste bestemmes fra forskjellen mellom intensitetene til den høyresirkulære og venstresirkulære komponenten.^[3]

Den første Stokes-parameteren er definert ved differansen

${\displaystyle S_{1}=I_{x}-I_{y}=\langle E_{x}^{*}(t)E_{x}(t)\rangle -\langle E_{y}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle }$

mellom intensitetene i x- og y-retning. På tilsvarende vis kan den andre parameteren defineres ved de lineære intensitetene langs den diagonale retningen e_d som danner +45° med x-aksen og den antidiagonale e_a som har vinkelen -45° med denne aksen. Ved å benytte disse to basisvektorene

${\displaystyle \mathbf {e} _{d/a}={\sqrt {1 \over 2}}{\Big (}\mathbf {e} _{x}\pm \mathbf {e} _{y}{\Big )}}$

finner man komponentene av feltvektoren i de samme retningene som ${\displaystyle E_{d/a}(t)=\mathbf {e} _{d/a}^{*}\cdot \mathbf {E} (t).}$ Fra intensitetene med disse polarisasjonene kan dermed den andre Stokes-parameteren defineres som

${\displaystyle S_{2}=I_{d}-I_{a}=\langle E_{d}^{*}(t)E_{d}(t)\rangle -\langle E_{a}^{*}(t)E_{a}(t)\rangle }$

Uttrykt ved de opprinnelige, komplekse amplitudene er

${\displaystyle I_{d/a}={1 \over 2}I\pm {1 \over 2}{\Big (}\langle E_{x}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle +\langle E_{y}^{*}(t)E_{x}(t)\rangle {\Big )}}$

slik at ${\displaystyle S_{2}=2\,{\text{Re}}\langle E_{x}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle .}$

På samme vis defineres den tredje Stokes-parameteren ut fra de to sirkulære basisvektorene

${\displaystyle \mathbf {e} _{R/L}={\sqrt {1 \over 2}}{\Big (}\mathbf {e} _{x}\pm i\,\mathbf {e} _{y}{\Big )}}$

De gir de tilsvarende komponentene ${\displaystyle E_{R/L}(t)=\mathbf {e} _{R/L}^{*}\cdot \mathbf {E} (t)}$ og dermed

${\displaystyle S_{3}=I_{R}-I_{L}=\langle E_{R}^{*}(t)E_{R}(t)\rangle -\langle E_{L}^{*}(t)E_{L}(t)\rangle }$

Her er nå

${\displaystyle I_{R/L}={1 \over 2}I\mp {i \over 2}{\Big (}\langle E_{x}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle -\langle E_{y}^{*}(t)E_{x}(t)\rangle {\Big )}}$

som betyr at ${\displaystyle S_{3}=2\,{\text{Im}}\langle E_{x}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle .}$ Den fjerde og siste Stokes-parameteren er ganske enkelt gitt ved den fulle intensiteten, det vil si ${\displaystyle S_{0}=I.}$ Generelt er nå

${\displaystyle S_{0}^{2}\geq S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}$

hvor likhetstegnet kun gjelder for 100% polarisasjon. For upolarisiert lys er bare S₀  forskjellig fra null.^[4]

Oppsummering

Illustrasjon av innholdet til Stokes-parametrene ved 100% polarisasjon.

Mer eksplisitt kan de fire parametrene skrives når de komplekse feltkomponentene uttrykkes ved deres reelle amplituder og fasefaktorer,

${\displaystyle E_{x/y}(t)=a_{x/y}(t)e^{i\delta _{x/y}(t)}}$

Da blir

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I=\langle a_{x}(t)a_{x}(t)\rangle +\langle a_{y}(t)a_{y}(t)\rangle \\S_{1}&=Q=\langle a_{x}(t)a_{x}(t)\rangle -\langle a_{y}(t)a_{y}(t)\rangle \\S_{2}&=U=2\langle a_{x}(t)a_{y}(t)\cos \delta (t)\rangle \\S_{3}&=V=2\langle a_{x}(t)a_{y}(t)\sin \delta (t)\rangle \end{aligned}}}$

hvor den relative faseforskjellen er ${\displaystyle \delta =\delta _{y}-\delta _{x}.}$ På denne formen er definisjonene av de fire Stokes-parametrene i overensstemmelse med hva som følger fra polarisasjonsellipsen for en monokromatisk bølge der alle disse variable størrelsene er konstante.

Historisk bakgrunn

Egenskapene til polarisert lys ble teoretisk forklart av Augustin Fresnel og eksperimentelt undersøkt av Francois Arago i årene opp mot 1820. Noe av innsikten ble etablert ved fenomen som involverte interferens mellom bølger med forskjellige opphav eller polarisasjon. Ved å kombinere for eksempel to bølger med ulik polarisasjon fremkom en ny type bølge med andre egenskaper enn hva de opprinnelige hadde.

Det var slike spørsmål George Stokes ville besvare da han rundt 1850 utviklet sine nye parametre. De gjør det mulig å gi en kvantitativ beskrivelse av delvis polarisert lys. Mens interferensfenomen kunne forklares ved betraktning av de abstrakte amplitudene til de forskjellige lysbølgene, er Stokes-parameterne basert på deres intensiteter. Disse er fysiske størrelser som kan eksperimentelt måtes.^[5]

En eksperimentell fremgangsmåte for å måle polariasasjonen ble foreslått av Stokes i sitt opprinnelig arbeid. Den gjorde bruk av en faseforsinker og en polarisator. Når en lysbølge går gjennom en faseforsinker, vil de to vinkelrette komponentene av feltvektoren pådra seg forskjellige faseforskjeller som kan uttrykkes ved en vinkel φ  som er bestemt av dens tykkelse. Det betyr at

${\displaystyle E_{x}(t)\rightarrow E'_{x}(t)=E_{x}(t)e^{i\phi /2}}$

${\displaystyle E_{y}(t)\rightarrow E'_{y}(t)=E_{y}(t)e^{-i\phi /2}}$

Denne modifiserte bølgen går så gjennom polarisatoren hvis transmisjonsakse danner vinkelen θ  med x-aksen. Amplituden til bølgen som slipper gjennom denne, blir derfor

${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=E'_{x}(t)\cos \theta +E'_{y}(t)\sin \theta \\&=E_{x}(t)e^{i\phi /2}\cos \theta +E_{y}(t)e^{-i\phi /2}\sin \theta \end{aligned}}}$

Den resulterende intensiteten er nå gitt ved den midlere verdien

${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta ,\phi )&=\langle E^{*}(t)E(t)\rangle \\&=\langle E_{x}^{*}(t)E_{x}(t)\rangle \cos ^{2}\theta +\langle E_{y}^{*}(t)E_{y}(t)\rangle \sin ^{2}\theta \\&+\langle E_{x}^{*}(t)E_{y}(t)e^{-i\phi }+E_{y}^{*}(t)E_{x}(t)e^{i\phi }\rangle \sin \theta \cos \theta \end{aligned}}}$

Her opptrer middelverdiene som definerer Stokes-parametrene. Det blir mer tydelig ved å benytte en trigonometrisk identitet for den dobbelte vinkel 2θ  som dermed gir

${\displaystyle I(\theta ,\phi )={1 \over 2}{\big (}S_{0}+S_{1}\cos 2\theta +S_{2}\sin 2\theta \cos \phi +S_{3}\sin 2\theta \sin \phi {\big )}}$

Målinger for fire forskjellige innstillinger av vinklene θ  og φ  gjør det mulig å bestemme de fire parametrene til Stokes. Mest direkte er først å sette φ = 0 og så måle intensitetene I_x  og I_y  for θ = 0°, henholdsvis θ = 90°. Det gir S₀ og S₁. De to tilsvarende intensitetene I_d  og I_a  finnes fra målinger med θ = ± 45°. Dermed kan S₂ finnes. For disse verdiene av θ  kan de så gjentas med φ = 90° slik at faseforsinkeren blir en kvartbølgeplate og skaper sirkulær polarisarisasjon. På den måten måles I_R  og I_L  som lar S₃ bli bestemt.^[2]

Stokes-vektor

Polarisasjon	Stokes-vektor	Polarisasjon	Stokes-vektor
lineær langs x-akse	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	lineær langs y-akse	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$
lineær langs +45°-akse	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	lineær langs -45°-akse	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$
sirkulær høyrevridd	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	sirkulær venstrevridd	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$

Mange ganger er det hensiktsmessig å betrakte de fire Stokes-parametrene som komponenter av en reell vektor,

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Upolarisert stråling har S₁ = S₂ = S₃ = 0 og har derfor Stokes-vektoren

${\displaystyle \mathbf {S} =I{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

Fra intensitetene til 100% lineær- og sirkulærpolarisert lys kan også Stokes-vektorene lett skrives ned og samles i tabellform som her. Generell, elliptisk polarisasjon kan angis ved de to vinklene χ  og ψ  som angir polarisasjonsellipsens form og orientering. Det gir Stokes-vektoren

${\displaystyle \mathbf {S} =I{\begin{pmatrix}1\\\cos 2\chi \cos 2\psi \\\cos 2\chi \sin 2\psi \\\sin 2\chi \end{pmatrix}}}$

For alle disse tilfellene med 100% polarisasjon gjelder sammenhengen

${\displaystyle S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}$

Hver slik vektor kan derfor angis ved et punkt på en Poincaré-sfære med radius gitt ved intensiteten I = S₀  og vinklene 2χ  og 2ψ  som todimensjonale kulekoordinater.^[1]

Delvis polarisasjon

En bølge med elektromagnetisk stråling er delvis polarisert når Stokes-parametrene oppfyller

${\displaystyle S_{0}>{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}}$

Graden av polarisasjon er da definert som

${\displaystyle p={1 \over S_{0}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}\;,\quad 0<p<1}$

hvor S_0' = I  fremdeles er dens fulle intensitet.

Når bølgen fremkommer som en kombinasjon av to helt uavhengige bølger, er den resulterende Stokes-vektoren gitt ved summen av vektorene til de opprinnelige bølgene,

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {S} _{1}+\mathbf {S} _{2}}$

Grunnen er at feltvektorene til hver av bølgene vil da fritt fluktuere uten gjensidig koherens slik at middelverdiene av krysstermer med deres komponenter vil være null. Dette gjør det mulig å fremstille fullstendig upolarisert stråling ved å kombinere bølgerf ra to slike uavhengige kilder som hver gir 100% motsatt polarisert stråling. For eksempel er

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+{1 \over 2}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$

som betyr at slik polarisert stråling kan beskrives som en kombinasjon av to 100% lineærpolariserte bølger, den ene i x-retning, den andre langs y-aksen og hver med den halve intensitet. Disse to delene kunne likså godt vært polariserte i diagonal eller antidiagonal retning, alternativt med motsatt sirkulærpolarisasjon eller to andre motsatte punkt på Poincaré-sfære.^[2]

På samme vis kan Stokes-vektoren til en delvis polarisert bølge med intensitetet I = S₀ nå skrives som

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}=(1-p)S_{0}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+pS_{0}{\begin{pmatrix}1\\S_{1}/pS_{0}\\S_{2}/pS_{0}\\S_{3}/pS_{0}\end{pmatrix}}}$

Det betyr at man generelt kan betrakte den som en kombinasjon av en fullstendig upolarisert bølge med intensitet (1 - p)I  og én som er 100% polarisert med intensitet pI. Denne siste delen kan derfor angis ved et punkt på en Poincaré-sfære med denne radius.

Se også

• Polarisert lys
• Elliptisk polarisasjon