Cairat (geometria)

Un cairat^[1] es un poligòn regular de quatre costats. Aquò significa que los seus quatre costats an la meteissa longor e los seus quatre angles la meteissa mesura. Un cairat es a l'encòp un rectangle e un lausange.

Un cairat.

Lo cairat possedís fòrça proprietats de simetria e de regularitat. Tot cairat a quatre axes de simetria e es invariant per de rotacions d'angle drech. Dos costats consecutius d'un cairat son perpendiculars, quitament las diagonalas. Aquelas proprietats son conegudas depuèi la mai nauta Antiquitat. Las primièras representacions del cairat datan de la preïstòria. Es, amb lo cercle, l'una de las figuras geometricas remarcables mai estudiadas dempuèi l'Antiquitat, lo problèma de la quadratura del cercle apeteguèt fòrça matematicians pendent dos millennis.

Lo « cairat d'un nombre » designa tanben lo produch d'aquel nombre per el meteis. Es notat a × a = a² es vist coma la superfícia d'un cairat de costat lo nombre inicial.

Proprietats

Lo cairat es a l'encòp un lausange e un rectangle, possedís doncas las proprietats d'aqueles dos quadrilatèrs. Pòt tanben èsser vist coma un poligòn regular, çò que permet de desmostrar las seunas proprietats per deduccion d'aquelas d'aqueles poligòns.

Angles e costats

Un cairat possedís quatre angles dreches (coma tot rectangle) e totes los seus costats an la meteissa longor (es un lausange). Los costats oposats d'un cairat son parallèls dos a dos, çò que ne fa un cas particulièr de parallelograma.

Diagonalas

Un cairat notat ABCD amb las diagonalas.

Coma parallelograma particulièr, tot cairat possedís de diagonalas que se copan en lor mitan. Aquel punt d'interseccion es nomenat lo centre del cairat. Lo notam O. Las diagonalas de tot rectangle — e doncas de tot cairat — an la meteissa longor. Doncas existís un cercle de centre O passant pels quatre vertèxes del cairat. Lo rai d'aquel cercle es egal a la longor d'una miègdiagonala.

Las diagonalas de tot cairat son perpendicularas, coma aquelas de tot lausange.

Cada diagonala partatge lo cairat en dos triangles que son a l'encòp rectangles e isocèls. Ambedoas diagonalas delimitan dins lo cairat quatre triangles rectangles isocèls.

Mesuras

Totes los cairats son semblables. Aquò significa que, per dos cairats donats, existís totjorn un agrandiment (o una reduccion) permetent de transformar l'un en l'autre en conservant los angles geometrics e las proporcions. Se pòt doncas definir entièrament un cairat per la longor c dels sèus costats.

L'aira d'un cairat es c×c = c². Son perimètre mesura 4c e cada diagonala mesura c√2.

Lo cairat es, dentre los quadrilatèrs de meteisse perimètre, aquel que possedís la mai granda superfícia. Aquela figura es la responsa a la question d'isoperimetria dins los quadrilatèrs.

Dimensions d'un cairat de costat c e de diagonala d
Diagonala	${\displaystyle c{\sqrt {2}}}$
Costat	${\displaystyle {\dfrac {d{\sqrt {2}}}{2}}}$
Perimètre	${\displaystyle 4c=2{\sqrt {2}}d}$
Aira	${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{2}}d^{2}}$

Simetrias

Las transformacions daissant un cairat invariant son de dos tipes:

• las simetrias axialas, que l'axe es o una diagonala del cairat, o una mediatritz d'un costat;
• las rotacions que lo centre es lo centre del cairat e que l'angle es un multiple de l'angle drech.

Vaquí la lista, son uèit e forman un grop :

id (identitat: cada punt es conservat)	r1 (rotacion de 90° cap a drecha)	r2 (rotacion de 180°)	r3 (rotacion de 270° cap a drecha)
fv (capvirament vertical)	fh (capvirament orizontal)	fd (capvirament seguent la primièra diagonala)	fc (capvirament seguent la segonda diagonala)
Los elements del grop de simetria (D4). Los vertèxes son colorats e numerotats per visualizar las transformacions.

Tota drecha passant per O divisa lo cairat en doas partidas superposablas.

Construccion sonque al compàs

Dessenh al compàs

Se vòl construire lo cairat de vertèxes ABCD coneissent sonque los punts A e B. Posam R la distància entre A e B; alara, procedèm atal:

• traçam C₁ lo cercle de centre A e de rai R (que conten alara B)
  ⇒ sus aquel cercle, avèm un tresen punt del cairat;
• traçam C₂ lo cercle de centre B e de rai R (que conten alara A)
  ⇒ sus aquel cercle, avèm lo quatren punt del cairat;
• Pausam G un punt d'interseccion de C₁ amb C₂; construsèm alara lo punt I, simetric de B al repècte d'A:
  • traçam C₃ centrat en G e de rai ${\displaystyle R}$ ; aquel cercle copa C₁ en B e en un autre punt H,
  • C₄, de centre H e de rai R, copa C₁ en G e en un nòu punt I;
• pausam S la distància entre G e I; construsèm alara C₅ de centre I e de rai S (contien de segur G);
• C₆ s'obten ne prenent per centre B e per rai S (conten de segur H); notam J lo punt d'interseccion entre C₆ e C₅ ques del meteis costat que G al repècte de la drecha (AB) ;
• se T es la distància entre A e J, construsèm C₇ lo cercle de centre A e de rai T (conten de segur J)
  ⇒ Lo punt C es obtengut per interseccion entre C₇ e C₂ ;
• construsèm alara C₈ de centre C e de rai R
  ⇒ l'interseccion de C₈ e C₁ es lo punt D.

Istòria

La taulèta d'argila YBC 7289: una fòrça anciana (prèp de 1700 AbC) representacion d'un cairat amb las seunas diagonalas e una valor aproximativa de √2 (credits: Bill Casselman).

De terralhas ornadas de cairats son attestadas dempuèi lo Millenni VI abC en Mesopotamia^[2].

De taulètas mòstran la coneissença de las simetrias e rotacions del cairat vèrs lo sègle XVIII. La taulèta BM 15285 conten una quarantena de problèmas matematics concernissent d'airas de figuras ligadas a de cairats^[3].