Injeccion (matematicas)

En matematicas, una injeccion o aplicacion injectiva es una aplicacion que pren de valors diferentas en d'elements diferents de son domeni.

Una aplicacion injectiva.

Una aplicacion non injectiva.

Definicion

Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha injectiva se e solament se, per tot pareu (x, x' ) d'elements de son domeni X :

f(x) = f(x' ) implica x = x' (o x ≠ x' implica f(x) ≠ f(x' )).

Autrament dich, l'aplicacion f es injectiva se e solament se, per tot element y dau codomeni Y, existís au mai un element x dau domeni X tau que f(x) = y.

Exemples e còntraexemples

• Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es injectiva.

• L'aplicacion u : N → N definida per u(n) = 2 n + 1 es injectiva.

• La foncion f : [0,+∞[ → R definida per f(x) = x² es injectiva, car dos reaus positius qu'an lo meteis carrat son egaus.

• La foncion g : R → R definida per g(x) = x² es pas injectiva, car (per exemple) g(1) = g(−1).

• La foncion h : R → R definida per ${\displaystyle h(x)=x^{3}-x}$ es pas injectiva, car (per exemple) h(0) = h(1).

• La foncion exponenciala ${\displaystyle \exp$ :\;\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}} es injectiva.

• La foncion logaritme neperian ${\displaystyle \ln$ :\;]0,+\infty [\to \mathbb {R} :x\mapsto \ln {x}} es injectiva.

• Pus generalament, dins lo cas que X e Y son totei dos de sosembles de la drecha reala R, una foncion f : X → Y es injectiva se e solament se son graf a jamai mai d'un ponch d'interseccion amb una drecha orizontala.

Injeccion canonica

Estent un sosemble (non vuege) X' d'un ensemble X, l'aplicacion i : X'  → X definida per i(x) = x es injectiva.

Es sonada injeccion canonica de X' dins X.

Proprietats

• Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions injectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es injectiva.

• Se g o f es injectiva, alora f es injectiva (mai se pòt que g o siá pas).

• f : X → Y es injectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h : Z → X, la relacion f o g = f o h implica g = h.

• Se f : X → Y es injectiva e A es un sosemble de X, alora f ⁻¹(f(A)) = A.
  Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar A a partir de l'imatge f(A).

• Se f : X → Y es injectiva e A e B son dos sosensembles de X, alora :

f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

• Tota aplicacion f : X → Y pòt èsser descompausada sota la forma f = i o s, onte :
  • s : X → f(X) definida per s(x) = f(x) es subrejectiva
  • i : f(X) → Y definida per i(y) = y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).

• S'existís una aplicacion injectiva f : X → Y, alora Y a aumens tant d'elements coma X, au sens dei nombres cardinaus.

• Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
  • f es injectiva
  • f es subrejectiva
  • f es bijectiva

Vejatz tanben

• ensemble
• aplicacion
• subrejeccion
• bijeccion