Trigonometria

La trigonometria^[1] es la branca dei matematicas qu'estúdia lei relacions entre lei distàncias e leis angles dins lei triangles. Per aquò, utiliza fòrça lei foncions trigonometricas sinus, cosinus e tangenta. Es apareguda durant l'Antiquitat en Egipte e en Mesopotamia per resòuvre de problemas liats a de calculs astronomics ò d'airas agricòlas. Pasmens, sa premiera estructuracion vertadiera aguèt luòc en Grècia vèrs lo sègle II avC. Puei, conoguèt de desvolopaments regulars durant lo periòde roman e durant l'Edat Mejana que menèron a la concepcion modèrna de la trigonometria definida per de personalitats coma François Viète e Leonhard Euler entre lei sègles XVI e XVIII. Dins lo mond modèrne, la trigonometria demòra una disciplina matematica de basa qu'es utilizada per resòuvre mai d'un problema d'engenhariá ò de triangulacion.

Ceucle trigonometric e angles de remarca.

Definicions

Triangle ABC, rectangle en C.

Representacion de la mesura dei foncions trigonometricas principalas sus lo ceucle unitat.

La definicion pus simpla dei foncions trigonometricas utiliza un triangle rectangle. Dins un triangle ARC rectangle en C (cf. l'imatge çai-tocant), en notant ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ l'angle ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$, lei foncions trigonometricas sinus, cosinus e tangenta son definidas per lei relacions :

${\displaystyle \sin {\widehat {A}}={{\mbox{costat opausat}} \over {\mbox{ipotenusa}}}={a \over c}\qquad \cos {\widehat {A}}={{\mbox{costat adjacent}} \over {\mbox{ipotenusa}}}={b \over c}\qquad \tan {\widehat {A}}={{\mbox{costat opausat}} \over {\mbox{costat adjacent}}}={a \over b}}$

Aquò permet de definir aquelei foncions per totei leis angles de 0° a 90°. Per generalizar a l'ensemble deis angles, s'utiliza lo ceucle unitat.

Istòria

La trigonometria antica

Representacion modèrna de la construccion geometrica utilizada per Iparc per estimar la talha e la distància de la Luna e dau Soleu.

Una trigonometria primitiva foguèt descubèrta en Mesopotamia e en Egipte au començament dau millenari II avC. Permetiá de calcular de rapòrts dins de triangles e foguèt utilizada per de calculs d'aira, per de calculs astronomics^[2] ò per la construccion de monuments. Pasmens, en l'abséncia de la nocion d'angle, lei desvolopaments demorèron limitats^[3]. La mencion pus anciana d'una foncion trigonometrica apareguèt dins lei Shulba Sutras, un ensemble de tèxtes indians escrichs entre lei sègles VIII e VI avC. La valor dau sinus de π/4 (45°) i es corrèctament calculada coma egala a √2/2 a partir d'un metòde destinat a ceuclar un carrat. Pasmens, lei matematicians indians dau periòde desvolopèron pas la nocion de sinus dins un sens generau^[4].

Lei premiereis estudis generaus de la trigonometria foguèron probablament publicats en Grècia. D'efiech, au sègle II avC, l'astronòm Iparc (v. 180-125 avC) utilizèt de « taulas trigonometricas » per calcular l'excentricitat deis orbitas de la Luna e dau Soleu e estimar lor diamètre e lor distància a respècte de la Tèrra. Per aquò, foguèt obligat de realizar de recèrcas sus lei foncions trigonometricas principalas. Pasmens, se certaneis istorians pensan qu'Iparc es lo fondator de la trigonometria, es possible que siegue l'eiretier de trabalhs pus ancians datant dei sègles V-III avC^[5].

Lei trabalhs d'Iparc foguèron desvolopats per Ptolemèu (v. 100-168 apC) dins l’Almagest^[6]. En particular, foguèron establidas lei formulas d'addicion permetent de calcular lei valors de sin(a+b) e de cos(a+b). Foguèt tanben prepausada una relacion equivalenta a la formula modèrna de l'angle mitat. Enfin, Ptolemèu produguèt de taulas trigonometricas novèlas.

Lei desvolopaments medievaus

Durant la premiera partida de l'Edat Mejana, Índia foguèt tornarmai lo centre principau de la recèrca sus la trigonometria. Au sègle VI, lo matematician Aryabhata (476-sègle VI) donèt la premiera definicion modèrna dau sinus dins son obratge Arya-Siddhanta. I definiguèt tanben lo cosinus, lo versinus e l'invèrs dau sinus e calculèt lei valors dau sinus, dau versinus e dau cosinus per totei leis angles comprés entre 0° e 90° (amb d'intervals de 3,75°). L'òbra d'Aryabhata foguèt perseguida per d'autrei matematicians coma Varahamihira (505-587), Bhāskara I († sègle VII) e Brahmagupta (598-670)^[7]. Descurbiguèron de relacions novèlas entre lei foncions trigonometricas, coma sin²(x) + cos²(x) = 1, e una formula permetent un calcul approximatiu dei valors dau sinus^[8].

A partir dau sègle VIII, lei trabalhs indians foguèron traduchs per lei matematicians arabopersans. En causa de la natura sovent secrèta dei recèrcas dei sabents musulmans medievaus, lei desvolopaments precís de la trigonometria aràbias son pas totjorn coneguts^[9]. Pasmens, l'òbra d'Abu l-Wafa (940-998) mòstra clarament lo mestritge de sièis foncions trigonometricas e l'existéncia de taulas donant sei valors amb un interval de 0,25°. De mai, Abu l-Wafa demostrèt la relacion sin (2x) = 2.sin(x).cos(x)^[10].

A partir dei sègles XII-XIII, lei conoissenças dei sabents arabis se difusèron lentament en Euròpa. Durant la segonda mitat dau sègle XV, èran ben mestrejadas per Regiomontanus (1436-1476) que considerèt la trigonometria coma una disciplina especifica dei matematicas, ponch de vista ja promòugut per l'Indian Bhāskara II (1114-1185) e l'Iranian Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274)^[11][12]. Aqueu periòde finau de l'Edat Mejana veguèt de descubèrtas novèlas realizadas per de matematicians arabis, persans ò indians coma lei demonstracions de la lèi dei sinus e de la lèi dei cosinus ò lo calcul de taulas trigonometricas d'una precision sensa precedents (12 decimalas per aquelei de Madhava^[13] e 16 per aquelei d'Al-Kashi). Pasmens, lo centre de la recèrca mondiala se desplacèt pauc a pauc vèrs Euròpa.

La trigonometria modèrna

Fotografia d'una taula trigonometrica europèa editada en 1619.

En 1551, lo tractat Canon doctrinæ triangulorum de Georg Joachim Rheticus (1514-1574) introduguèt una evolucion importanta dins la concepcion dei foncions trigonometricas en utilizant un triangle, en plaça d'un ceucle, per lei definir^[14]. Aquò permetèt au Francés François Viète (1540-1603) de publicar de taulas trigonometricas d'una precision novèla dins son obratge Canon Mathematicus publicat en 1579^[15]. De mai, enoncièt per lo premier còp lei formulas que lian entre elei lei sièis linhas trigonometricas. Aqueu trabalh venguèt la referéncia per lei libres prepausant de calculs adaptats a l'astronomia ò a la navegacion.

Enfin, la darriera evolucion majora que regardèt lo desvolopament de la trigonometria foguèt son utilizacion per representar lei nombres complèxes. D'efiech, l'introduccion de l'unitat imaginària dins lei formulas trigonometricas donèt rapidament de relacions interessantas. Lei formulas de Moivre e d'Euler son la sintèsi principala d'aqeuu trabalh. De mai, dins la presentacion de sa formula e^ix = cosx + i sinx, Leonhard Euler (1707-1783) utilizèt lei notacions modèrnas sin, cos, tan, cot, sec e csc.

Formulas de trigonometria

Identitat remarcabla

Per cada nombre reau a, pòu s'escriure l'egalitat :

${\displaystyle \cos ^{2}a+\sin ^{2}a=1\,}$

Formulas d'addicion e de multiplicacion

Formulas d'addicions e de diferéncias d'arcs

Lei doas formulas principalas que permèton d'addicionar dos arcs per lo cosinus e lo sinus son :

${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$ ${\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$ ${\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}}$

Lei formulas de diferéncias s'obtènon en remplaçant b per –b e en considerant que la foncion cosinus es para e que lei foncions sinus e tangenta son imparas^[16].

Formulas de multiplicacion d'arcs

Lei formulas principalas permetent de multiplicar d'arcs son :

${\displaystyle \cos(2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a\,}$ ${\displaystyle \sin(2a)=2\sin a\cos a\,}$ ${\displaystyle \tan(2a)={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}\,}$

${\displaystyle \sin(3a)=3\sin a-4\sin ^{3}a\,}$ ${\displaystyle \cos(3a)=-3\cos a+4\cos ^{3}a\,}$ ${\displaystyle \tan(3a)={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}}$

Formulas de desvolopament e de factorizacion

Lei formulas de desvolopament e de factorizacion dei sinus e dei cosinus son dichas formulas de Simpson. Son obtengudas a partir dei formulas precedentas :

Desvolopament

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}a={\frac {1+\cos(2a)}{2}}}$ ${\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}$ ${\displaystyle \sin ^{2}a={\frac {1-\cos(2a)}{2}}}$ ${\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}$

Factorization

${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$ ${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {{p+q} \over 2}\sin {{p-q} \over 2}}$ ${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {{p+q} \over 2}\cos {{p-q} \over 2}}$

Formulas de l'arc mitat

Aquelei formulas son utilizadas dins mai d'un problema. En pausant ${\displaystyle t=\tan {\frac {a}{2}}}$, s'obtèn :

${\displaystyle \sin a={\frac {2t}{1+t^{2}}}~,\qquad \cos a={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}~,\qquad \tan a={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$

Formulas dins lei triangles

Teorèma d'Al-Kashi

Article detalhat: Teorèma d'Al-Kashi.

Lo teorèma d'Al-Kashi (ò lèi dei cosinus) s'aplica dins un triangle ABC de costats a = BC, b = BC e c = AB, s'obtèn la relacion :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cdot \cos {\widehat {A}}}$

Aquela formula es fòrça utilizada en triangulacion. Lo teorèma de Pitagòras n'es un cas particular quand ${\displaystyle {\hat {A}}=90^{\circ }}$.

Resolucion d'un triangle

Article detalhat: Resolucion d'un triangle.

La resolucion d'un triangle consistís a trobar lei caracteristicas complètas d'un triangle a partir de donadas reduchas coma la longor d'un costat e la valor de dos angles adjacents ò un angle e la longor dei dos costats adjacents. Important en triangulacion, aqueu trabalh es realizat a partir dei formulas e teorèmas precedents.

Calcul de l'aira d'un triangle

L'aira A d'un triangle pòu èsser calculada a partir de la longor a e b dei dos costats adjacents e de l'angle que forman :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}a\times b\times \sin {\widehat {C}}}$

Formula de Moivre et d'Euler

La formula de Moivre permet de liar lei nombres complèxes e lei foncions trigonometricas :

${\displaystyle \left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)}$

La formula d'Euler es una egalitat matematica fòrça importanta que permet d'escriure per cada nombre reau x una relacion entre lo nombre e, l'unitat imaginària i e lei foncions trigonometricas :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$