ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਜੋੜ ਦੇਣ ਨਾਲ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਦੇ ਨਾਲ i ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੇਠਲੇ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$^[1]

ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪਲੇਨ ਦੀ ਤਰਜਮਾਨੀ ਕਰਦੀ ਅਰਗੰਡ ਡਾਇਆਗਰਾਮ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਜੋੜੀ (a, b) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। "Re" ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਕਸਿਸ ਹੈ, "Im"ਕਲਪਿਤ ਐਕਸਿਸ, ਅਤੇ ${\displaystyle ''i''\,}$ ਕਲਪਿਤ ਇਕਾਈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਗਲੇ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਸੰਤੁਸ਼ਟੀ ਹੈ:${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਨੂੰ a + bi, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਅਤੇ b ਦੋਨੋਂ ਹੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹਨ। a + bi ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਅਤੇ b ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ: 3 + 4i ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ।

ਓਵਰਵਿਊ

ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਕੁਝ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਮਿਸਾਲ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ

${\displaystyle (x+1)^{2}=-9\,}$

ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਦਾ ਵਰਗ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੰਮ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ i ਜੋੜ ਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਥੇ i² = −1, ਤਾਂਕਿ ਪਿਛਲੀ ਵਰਗੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੱਲ −1 + 3i ਅਤੇ −1 − 3i ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਇਸਤੇਮਾਲ ਕਰਕੇ ਤਸਦੀਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ i² = −1:

${\displaystyle ((-1+3i)+1)^{2}=(3i)^{2}=(3^{2})(i^{2})=9(-1)=-9,}$

${\displaystyle ((-1-3i)+1)^{2}=(-3i)^{2}=(-3)^{2}(i^{2})=9(-1)=-9.}$