ਚੁੰਬਕੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ

ਚੁੰਬਕੀ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ 'ϕ (ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ) ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:^[2]

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,

ਜਿੱਥੇ B ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਅਤੇ E ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ ਹੈ। ਮੈਗਨੈਟੋਸਟੈਟਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਜਿੱਥੇ ਕੋਈ ਵੀ ਵਕਤ-ਨਾਲ-ਤਬਦੀਲ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਚਾਰਜ ਵਿਸਥਾਰ-ਵੰਡ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਹੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। (ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਸ਼ਬਦ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਚੁੰਬਕੀ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਸਰਵਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।)

ਜੇਕਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡਾਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਤੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਅਪਣੇ-ਆਪ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਦੋ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ: ਚੁੰਬਕਤਾ ਲਈ ਗਾਓਸ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਫੈਰਾਡੇ ਦਾ ਨਿਯਮ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜੇਕਰ A ਹਰੇਕ ਜਗਹ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਨੋਪੋਲਾਂ ਵਾਲ਼ੇ ਨਤੀਜੇ ਨਹੀਂ ਕੱਡੇਗੀ। (ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਨੋਪੋਲਾਂ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, A ਕੁੱਝ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ, ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਵੇਰਵੇ ਲਈ ਚੁੰਬਕੀ ਮੋਨੋਪੋਲ ਦੇਖੋ)

ਉਪਰੋਕਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਦੀ ਕਰਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}

ਇਸਦੇ ਬਦਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਹੈਲਮਹੋਲਟਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ A ਅਤੇ ϕ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਡਾਇਵਰਜੰਸ-ਮੁਕਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚੁੰਬਕਤਾ ਲਈ ਗਾਓਸ ਦਾ ਨਿਯਮ; ਜਿਵੇਂ, ∇ ⋅ B = 0), ਇਸ ਲਈ ਓਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਖਰੀ ਉਤਰਨ ਵਾਲੀ A ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਹੋਂਦ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।

ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਨੂੰ ਓਦੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਦੇਖੋ ਚਾਰਜ ਕੀਤੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਡਿਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਅਹਰਨੋਬ-ਬੋਹਮ ਪ੍ਰਭਾਵ।

[[SI }]] ਵਿੱਚ, A ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ V·s·m⁻¹ ਹਨ ਜੋ ਓਹੀ ਹਨ ਜੋ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਚਾਰਜ ਵਾਸਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ, ਜਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਯੁਨਿਟ ਕਰੰਟ ਵਾਸਤੇ ਫੋਰਸ ਦੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਿਊਨਤਮ ਕਪਲਿੰਗ ਵਿੱਚ, qA ਨੂੰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਮੋਮੈਂਟਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਾਨਿਨੀਕਲ ਮੋਮੈਂਟਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦੇ ਦੁਆਰਾ ਮੱਲਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹਿ, S ਰਾਹੀਂ, ਕਿਸੇ ਬੰਦ ਲੂਪ ਉੱਤੇ A ਦਾ ਲਾਈਨ ਇੰਟਗ੍ਰਲ Γ, ਚੁੰਬਕੀ ਫਲਕਸ, Φ_B ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \,\cdot \,d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }.

ਇਸਲਈ, A ਦੀ ਯੂਨਿਟ ਵੈਬਰ ਪ੍ਰਤਿ ਯੂਨਿਟ ਮੀਟਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਓਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਸੁਪਰਕੰਡਕਟਰ ਲੂਪਾਂ ਦੀ ਫਲਕਸ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣੀ ਲਾਭਕਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਬੇਸ਼ੱਕ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ B ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ ਹੈ (ਜਿਸ ਨੂੰ ਐਕਸੀਅਲ ਕਲਾਸੀਕਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਫੇਰ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ^[3] ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਹੋਇਆ ਕਿ ਕ੍ਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਵਾਲਾ ਨਿਯਮ ਖੱਬੇ –ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਪਰ ਹੋਰ ਕੋਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਜਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਨਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ B ਦਾ ਚਿੰਨ ਉਲਟ ਜਾਏਗਾ, ਪਰ A ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗਾ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਮਿਸਾਲ ਹੈ: ਕਿਸੇ ਪੋਲਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਕਰਲ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ। ^[3]

ਗੇਜ ਚੋਣਾਂ

ਓਪਰੋਕਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਚੁੰਬਕੀ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਨੂੰ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਕਿਉਂਕਿ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ, ਨਿਰੀਖਤ ਚੁੰਬਕੀ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਗੈਰ, ਚੁੰਬਕੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਵਿੱਚ ਮਨਚਾਹੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਰਲ-ਮੁਕਤ ਹਿੱਸੇ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਤਰਾਂ, A ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਸਮੇਂ, ਇੱਕ {{ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (ਭੌਤਿਕ ਅਤੇ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ)|ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ]] ਉਪਲਬਧ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਗੇਜ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ

ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦੀ ਉਪਰੋਕਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਇਸ ਨੂੰ ਹੋਰ ਦੋ ਮੈਕਸਵੈਲ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ (ਜੋ ਅਪਣੇ ਆਪ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ) ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗੇਜ ਵਰਤ ਕੇ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A ਨੂੰ ਇਸ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0

^[2]

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗੇਜ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਸਕੇਲਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ϕ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:^[2]

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}

ਹੋਰ ਗੇਜਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਜੁਲਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਵਾਸਤੇ (ਫੋਰ-ਵੈਕਟਰ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ) ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਚਿੰਨ-ਧਾਰਨਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।

ਸੋਮਾਂ ਵੰਡ ਤੋਂ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ

ਬਾਊਂਡਰੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਸਮੇਤ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗੇਜ ਵਿੱਚ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ (ਦੇਖੋ ਫਾਇਨਮਨ^[2] ਅਤੇ ਜੈਕਸਨ^[4]) ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹੋਏ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਘਟਾਏ ਹੋਏ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚੁੰਬਕੀ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A(r, t) ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਡੈੱਨਸਟੀ J(r′, t′) ਦੀ ਕਰੰਟ ਵੰਡ J(r′, t′), ਚਾਰਜ ਡੈੱਨਸਟੀ ρ(r′, t′), ਅਤੇ ਵੌਲਿਊਮ Ω ਸਦਕਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਕੇਲਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ϕ(r, t) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਅੰਦਰ ρ ਅਤੇ J ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਦੇ ਕਦੇ ਅਤੇ ਕੁੱਝ ਥਾਵਾਂ ਤੇ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

{\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\\phi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}

ਜਿੱਥੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ r ਅਤੇ ਟਾਈਮ t ਉੱਤੇ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ, ਕਿਸੇ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਪੁਜੀਸ਼ਨ r′ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਵਕਤ t′ ਉੱਤੇ ਸੋਮਿਆਂ ਤੋਂ ਲਗਦਾ ਹੈ। ਲੋਕੇਸ਼ਨ r′, ਚਾਰਜ ਜਾਂ ਕਰੰਟ ਵੰਡ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸੋਮਾ-ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ ਵੌਲੀਊਮ Ω ਅੰਦਰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ) । ਪਹਿਲਾਂ ਟਾਈਮ t′ ਘਟਾਇਆ ਹੋਇਆ ਟਾਈਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰਾਂ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

t'=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}

ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਰਾਹੀਂ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਏ ਗਏ A ਅਤੇ ϕ ਬਾਬਤ ਕੁੱਝ ਨੋਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਹਨ:

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗੇਜ ਸ਼ਰਤ: ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

r ਦੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ, ਜੋ ਓਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ϕ ਅਤੇ A ਲਈ ਮੁੱਲ ਮਿਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ r′ ਤੋਂ r ਤੱਕ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਫਾਸਲੇ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ r′ ਤੋਂ r ਤੱਕ ਦਾ ਫਾਸਲਾ ਦਾਖਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ । ਕਿਸੇ ਸੋਮੇ ਬਿੰਦੂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਚੀਜ਼ ਫਰਕ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ ਉਹ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ।

ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਘਟਾਏ ਹੋਏ ਟਾਈਮ, t′ ਨੂੰ ਵਰਤਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਰਲ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਤੱਥ ਉਜਾਗਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੋਮੇ ਅੰਦਰ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਉੱਤੇ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਤਰਾਂ r ਅਤੇ t ਉੱਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਚਾਰਜ ਅਤੇ ਕਰੰਟ ਡੈੱਨਸਟੀਆਂ, ਦੂਰ ਸਥਿਰ ਪੁਜੀਸ਼ਨ r′ ਤੋਂ, ਕਿਸੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂ t′ ਉੱਤੇ 0 ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ।
A ਵਾਸਤੇ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤਿੰਨ ਸਕੇਲਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:^[5]
${\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}$

ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ A ਦਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਹਿੱਸਾ), ਸਿਰਫ J ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਓਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਲੰਬੀ ਸਿੱਧੀ ਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕਰੰਟ ਲੰਘਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ A, ਤਾਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਗੇਜਾਂ ਵਿੱਚ, A ਅਤੇ ϕ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ,ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਈ ਦੇਖੋ ਕੂਲੌਂਬ ਗੇਜ ।

A-ਫੀਲਡ ਦਾ ਦਰਸਾਅ

ਦੇਖੋ ਫੇਨਮੈਨ^[6] ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਪਤਲੀ ਸੌਲੀਨਾਇਡ ਦੇ ਦੁਆਲ਼ੇ A ਫੀਲਡ ਦਾ ਦਰਸਾਅ

ਕਿਉਂਕਿ

\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}

ਕੁਆਸੀ-ਸਟੇਟਿਕ ਸ਼ਰਤਾਂ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ,

{\frac {\partial E}{\partial t}}\rightarrow 0\,\quad \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \,,

ਚੁੰਬਕੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ