ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਕਰਦਿਆਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਦਾ ਗਣਿਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਗਤੀ ਦੀਆਂ ਨਿਊਟਨ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਪ੍ਰਵੇਗਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਵਸਤੂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਬੀਤਣ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਲੇ ਅਲਜਬਰੇ ਨਾਲ ਹੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਫੇਰ ਵੀ, ਜਦੋਂ ਵਸਤੂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ ਬੀਤਣ ਦੀ ਦਰ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਕਿਤਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕਠਿਨ ਗਣਿਤ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ, ਟੈਂਸਰਾਂ, ਸੂਡੋਟੈਂਸਰਾਂ (ਮਿੱਥ-ਟੈਂਸਰਾਂ) ਅਤੇ ਕਰਵੀਲੀਨੀਅਰ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ (ਰੇਖਿਕ-ਵਕਰਿਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ) ਵਰਗੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਭਾਰੀ ਮਾਸ (ਪੁੰਜ) ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਔਰਬਿਟਾਂ ਨੂੰ ਅਪਣਾ ਕੇ ਗਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਣਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਲਈ, ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਲਈ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਪ੍ਰੇਰਣਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਲਈ ਸਿਧਾਂਤਕ ਪ੍ਰੇਰਣਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਪੇਖਿਕ ਨੁਸਖੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਟੈਂਸਰ

ਵੈਕਟਰ

ਕਿਸੇ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ

ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਯੂਕਿਲਡਨ ਵੈਕਟਰ (ਕਦੇ ਕਦੇ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ^[1] ਜਾਂ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਵੈਕਟਰ^[2] ਜਾਂ- ਜਿਵੇਂ ਇੱਥੇ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ- ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ) ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ/ਮਾਤਰਾ (ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ) ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ A ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ B ਤੱਕ ਲਿਜਾ ਕੇ ਰੱਖਣ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਪੈਂਦੀ ਹੈ; ਲੈਟਿਨ ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਸ਼ਬਦ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ “ਜੋ ਚੁੱਕ ਕੇ ਰੱਖਦਾ^[3] ਹੈ, ਉਹ ਚੀਜ਼”। ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਡਿਸਟੈਂਸ (ਦੂਰੀ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੇ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ (ਵਿਸਥਾਪਨ) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨੂੰ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ, ਨੈਗੈਟਿਵ ਕਰਨਾ ਵਰਗੇ ਕਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਉੱਤੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਨੇੜੇ ਦਾ ਸਮਾਨ ਸਬੰਧ ਹੈ ਜੋ ਕਮਿਉਟੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਬੰਧ ਦਾ ਗੁਣ), ਐਸੋਸੀਏਟੀਵਿਟੀ (ਸਹੋਯੋਗਤਾ), ਅਤੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸਥਾਰ ਵੰਡਤਾ) ਵਾਲੇ ਜਾਣੇ ਪਛਾਣੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਟੈਂਸਰ

ਸਟ੍ਰੈੱਸ (ਤਣਾਓ), ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਟੈਂਸਰ। ਤਣਾਓ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਬੌਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ

ਇੱਕ ਟੈਂਸਰ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਵਾਧੂ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ, ਜੋ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਗਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ, ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਸਦੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋ ਦਿਸ ਸਕਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਅਯਾਮੀ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੈਂਸਰ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਫਾਲਤੂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਟੈਂਸਰ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਟੈਂਸਰ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਬਹੁ-ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ, ਸਬੰਧਿਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉਪਯੋਗ

ਭੌਤਿਕੀ ਵਿਗਿਆਨਾਂ ਅੰਦਰ ਵੈਕਟਰ ਮੁਢਲੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਹਰ ਓਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਵਿਲੌਸਿਟੀ, ਜਿਸਦੀ ਮਾਤਰਾ ਸਪੀਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, “ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨੂੰ 5 ਮੀਟਰ/ਸੈਕਿੰਡ ਵਾਲੀ ਵਿਲੌਸਿਟੀ” ਵੈਕਟਰ (0,5) ਨਾਲ ਦਰਸਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ (ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ y ਧੁਰੇ ਨੂੰ “ਉੱਪਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ” ਵਿੱਚ ਲੈ ਕੇ 2-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ)। ਵੈਕਟਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾ ਫੋਰਸ (ਬਲ) ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ (ਵਿਸਥਾਪਨ), ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ (ਪ੍ਰਵੇਗ), ਮੋਮੈਂਟਮ (ਆਵੇਗ), ਅਤੇ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ (ਕੋਣਿਕ ਆਵੇਗ)। ਹੋਰ ਭੌਤਿਕੀ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ (ਬਿਜਲਈ) ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟੈਨਿਕ (ਚੁੰਬਕੀ) ਫੀਲਡ, ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਰੂਪ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਟੈਂਸਰਾਂ ਦੇ ਵੀ ਵਿਆਪਕ ਉਪਯੋਗ ਹਨ:

• • ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਟੈਂਸਰ (ਜਾਂ ਫੈਰਾਡੇ ਦਾ ਟੈਂਸਰ)
• • ਕੰਟੀਨੁੱਮ (ਨਿਰੰਤਰ) ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਵਿਰੂਪਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸੀਮਤ ਡਿਫੌਰਮੇਸ਼ਨ ਟੈਂਸਰ ਅਤੇ ਤਣਾਓ (ਸਟ੍ਰੇਨ) ਲਈ ਸਟ੍ਰੇਨ ਟੈਂਸਰ
• • ਅਨੀਸਿਟ੍ਰੌਪਿਕ ਮਾਧਿਅਮ ਅੰਦਰ ਪਰਮਿੱਟੀਵਿਟੀ (ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ ਜਮਾਂ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ) ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਸਕੈਪਟੀਬਿਲਟੀ (ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲਤਾ) ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
• • ਮੋਮੈਂਟਮ ਫਲਕਸਾਂ (ਨਿਰੰਤਰ ਪ੍ਰਵਾਹਾਂ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ
• • ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੇ ਆਈਗਨਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਫੈਰੀਕਲ ਟੈਂਸਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
• • ਜੈਵਿਕ (ਬਾਇਓਲੋਜੀਕ) ਵਾਤਾਵਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਫੈਲਾਓ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਫਿਊਜ ਟੈਂਸਰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਡਿਫਿਊਜ ਟੈਂਸਰ ਇਮੇਜਿੰਗ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹਨ।

ਅਯਾਮ

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ, ਜਾਂ ਚਾਰ-ਵੈਕਟਰ ਚਾਹੀਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਚਾਰ ਅਯਾਮ (ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ) ਲੰਬਾਈ, ਉੱਚਾਈ, ਚੌੜਾਈ, ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ “ਬਿੰਦੂ” ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਸਥਾਨ ਅਤੇ ਵਕਤ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਵਾਂਗ ਹੀ, ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਟੈਂਸਰ ਵੀ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਰੀਮਾਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ ਹੈ।

ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨ

• 
  ਦਰਸ਼ਕਾਂ e_x ਅਤੇ e_r ਦਾ ਇਸ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਲ ਮੂੰਹ ਹੈ
• 
  ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ e_x ਅਤੇ e_r ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਓਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ e_x ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ e_r ਲਈ ਇਸ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਗਣਿਤਿਕ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਟੁਪਲ, ਜਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਲਿਸਟ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਬਾਹਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਜਾਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਜਾਂ ਖਿੱਚਾਓ ਨਾਲ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਹਿੱਸੇ) ਵੀ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਦਲਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ (ਜਾਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮ ਪ੍ਰਤਿ ਲਏ ਗਏ ਨਾਪਾਂ ਨੂੰ) ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਜਰੂਰ ਹੀ ਬਦਲਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ|

• ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ (ਨਿਯਮਿਤ/ਰੈਗੂਲਰ) ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੂਰੀ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ) ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਯੂਨਿਟ ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਜਾਂ ਐਕਲਸਰੇਸ਼ਨ)। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੀਟਰਾਂ ਤੋਂ ਮਿਲੀਮੀਟਰਾਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਬਦਲਣ ਤੇ, 1 ਮੀਟਰ ਦਾ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ 1000 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
• ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਇੱਕ ਬਟਾ ਦੂਰੀ ਵਾਲੀਆਂ ਯੂਨਿਟਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਗਰੇਡੀਅੰਟ)। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮਿਲੀਮੀਟਰਾਂ ਤੋਂ ਫੇਰ ਮੀਟਰਾਂ ਤੱਲਕ ਬਦਲਾਓ ਕਰਨ ਤੇ, 1 K/m ਫੇਰ ਤੋਂ 0.001 K/mm ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਸਹੀ ਰੈਫੱਰੈਂਸ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਧਰਤੀ ਉੱਤੇ, ਅਸੀਂ ਉੱਤਰ, ਪੂਰਬ, ਅਤੇ ਐਲੀਵੇਸ਼ਨ ਵਰਗੀਆਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਪੇਸ ਲਈ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਫਰੇਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੈਫਰੈਂਸ ਗਰਿੱਡ ਦੇ, ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਨੂੰ ਵੱਲ/ਪਰੇ, ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ, ਉੱਪਰ/ਥੱਲੇ ਅਤੇ ਭੂਤ/ਭਵਿੱਖ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਉਣਾ ਜਿਆਦਾ ਸਹੀ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੇ ਐਲਾਨ ਦੇ ਦਸਤਖਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਲਓ। ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਹੇ ਮਾਊਂਟ ਰੇਨੀਅਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਅਜੋਕੇ ਦਰਸ਼ਕ ਲਈ, ਘਟਨਾ ਅੱਗੇ, ਸੱਜੇ, ਥੱਲੇ, ਅਤੇ ਭੂਤਕਾਲ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ, ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਹੇ ਮੈਡੀਵਲ ਇੰਗਲੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਰਸ਼ਕ ਲਈ, ਘਟਨਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਵਕਤ ਪਿੱਛੇ, ਖੱਬੇ ਵੱਲ, ਨਾ ਥੱਲੇ ਨਾ ਉੱਪਰ, ਭਵਿੱਖ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਘਟਨਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਦਲੀ ਹੁੰਦੀ, ਪਰ ਦਰਸ਼ਕ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਗਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਤਿਰਛੇ ਧੁਰੇ

ਇੱਕ ਓਬਲੀਕ (ਤਿਰਛਾ) “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਓਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦਾ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ (ਸਮਕੋਣ) ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਓਹ ਸਮਕੋਣ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀ ਵਜਾਏ ਹੋਰ ਐਂਗਲਾਂ ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਤਨ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਅਕਸਰ ਪੁਰਾਣੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿੱਚ ਤਿਰਛੇ ਧੁਰੇ ਰੱਖਦਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਗੈਰ-ਟੈਂਸਰ

ਇੱਕ ਗੈਰ-ਟੈਂਸਰ ਜਾਂ ਨੌਨ-ਟੈਂਸਰ ਇੱਕ ਟੈਂਸਰ ਵਰਗੀ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਉੱਪਰ-ਥੱਲੇ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਂਗ ਵਰਤਾਓ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਅਧੀਨ ਕਿਸੇ ਟੈਂਸਰ ਵਾਂਗ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕ੍ਰਿਸਟੋਫਲ ਸਿੰਬਲ (ਚਿੰਨ) ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਟੈਂਸਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਜੇਕਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇ ਜਾਂਦੇ।

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਐਨਰਜੀ ਮੋਮੈਂਟਮ ਟੈਂਸਰ ਰਾਹੀਂ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡ ਦੀ ਐਨਰਜੀ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਸਗੋਂ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨੀਆਂ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਿਰਫ ਓਸ ਵੇਲੇ ਹੀ ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਂਗ ਵਰਤਾਓ ਕਰਨ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਪ੍ਰਤਿ ਵਰਤਾਓ ਕਰਵਾਇਆ ਜਾਵੇ। ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਟੈਂਸਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਅਜਿਹੇ ਇੱਕ ਸੂਡੋਟੈਂਸਰ (ਮਿੱਥ-ਟੈਂਸਰ) ਦੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਉਦਾਹਰਨ ਲਾਨਦਾਓ-ਲਿਫਸ਼ਿਟਜ਼ ਸੂਡੋਟੈਂਸਰ ਹੈ।

ਕਰਵੀਲੀਨੀਅਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ

ਕੈਸਿਨੀ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰੋਬ (ਆਰਟਿਸਟ ਇੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ) ਦੁਆਰਾ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦਾ ਉੱਚ-ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਵਾਲਾ ਟੈਸਟ: ਸੂਰਜ ਦੇ ਮਾਸ ਕਾਰਣ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਮਾਂ (ਨੀਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ) ਲਪੇਟੇ ਜਾਣ ਰਾਹੀਂ ਧਰਤੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਬ (ਹਰੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ) ਦਰਮਿਅਨ ਵੇਜੇ ਗਏ ਰੇਡੀਓ ਸਿਗਨਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਰੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸੂਰਜ ਦਾ ਮਾਸ/ਪੁੰਜ ਨਿਯਮਿਤ ਗ੍ਰਿਡ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਵਿਗਾੜ ਕੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਫੇਰ ਇਸ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰਸਤੇ ਨੂੰ ਅਪਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਵੱਲ ਗਤੀ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ

ਕਰਵੀਲੀਨੀਅਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਉਹ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਧੁਰਿਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਐੰਗਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਗ੍ਰਿਡ ਦੀ ਜਗਹ ਗ੍ਰਿਡ ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਉਦਾਹਰਨ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤਹਿ ਹੈ। ਜਦੋਂਕਿ ਨਕਸ਼ੇ ਵਕਤ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਯਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉੱਤਰ, ਦੱਖਣ, ਪੂਰਬ ਅਤੇ ਪੱਛਿਮ ਦੀ ਇੱਕ ਸਰਲ ਸਕੁਏਅਰ ਗ੍ਰਿਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤਸਵੀਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਨ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮਾਮਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਗੋਂ, ਉੱਤਰ ਅਤੇ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਭੱਜੀਆਂ ਜਾ ਰਹੀਆਂ ਲੌੰਗੀਟਿਊਡ (ਲੰਬਾਤਮਿਕ) ਰੇਖਾਵਾਂ ਮੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉੱਤਰੀ ਧਰੁੱਵ ਉੱਤੇ ਜਾ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਧਰਤੀ ਪੱਧਰੀ (ਫਲੈਟ) ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਗੋਂ ਗੋਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੀਆਂ ਚਾਰੇਂ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਉੱਤੇ ਗਰੈਵਿਟੀ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਆਮ ਸਮਾਨ ਉਦਾਹਰਨ, ਖਿੱਚੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਰਬਰ ਸ਼ੀਟ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਭਾਰੀ ਵਸਤੂ ਰੱਖ ਦੇਣਾ ਹੈ, ਜੋ ਰਬਰ ਸ਼ੀਟ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਵੱਲ ਮੋੜ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮੋੜ ਵਸਤੂ ਦੁਆਲੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਨੂੰ ਵਕਰਿਤ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਬਿਲਕੁਲ ਜਿਵੇਂ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਆਪਣੇ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਸਥਾਨ ਉੱਤੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਨੂੰ ਵਕਰਿਤ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਗਣਿਤ ਧਰਤੀ ਉੱਤੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲੋਂ ਸੰਕਲਿਪ ਤੌਰ ਤੇ ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਿਸੇ 2D ਵਕਰਿਤ ਸਤਿਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਜਗਹ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੇ ਵਕਰਿਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ

ਉਦਾਹਰਨ: ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਜੜੀ ਇੱਕ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮੀ ਗੇਂਦ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਸਮਾਂਤਰ ਵਿਸਥਾਪਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ${\displaystyle z^{1}}$ ਅਤੇ ${\displaystyle z^{2}}$ ਰਾਹੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਇੱਕ 2-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜੜਿਆ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ r ਹੈ। ਦੋ ਅਯਾਮੀ ਸਿਸਟਮ ਅੰਦਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ${\displaystyle y^{1}}$ ਅਤੇ ${\displaystyle y^{2}}$ ਰਾਹੀਂ ਚੱਕਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ x ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ y ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ x ਨਾਲ ${\displaystyle y^{1}=r\cos(x/r)}$ ਅਤੇ ${\displaystyle y^{2}=r\sin(x/r)}$ ਸਬੰਧ ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ${\displaystyle \partial y^{1}/\partial x=-\sin(x/r)}$ ਅਤੇ ${\displaystyle \partial y^{2}/\partial x=\cos(x/r).}$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ ਅਤੇ ${\displaystyle g=\cos ^{2}(x/r)+\sin ^{2}(x/r)=1.}$ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਅੰਤਰਾਲ ${\displaystyle ds^{2}=g\,dx^{2}=dx^{2}.\,}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ ਸਿਰਫ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਸਮਾਨ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰਾਲ

ਕਿਸੇ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਨਿਖੇੜ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਦੂਰੀ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡਿਸਟੈਂਸ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਵਿਛੋੜੇ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇਨਵੇਰੀਅੰਟ ਇੰਟਰਵਲ (ਸਥਿਰ ਅੰਤਰਾਲ) ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਨਾ ਕੇਵਲ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਥਾਨਿਕ ਵਿਛੋੜੇ ਨੂੰ ਹੀ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਕਤੀ ਵਿਛੋੜੇ ਨੂੰ ਵੀ ਲੇਵੇ ਕੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਅੰਤਰਾਲ s² ਇਸ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle s^{2}=\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}\,}$   (ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ),

,

ਜਿੱਥੇ c ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਹੈ, ਅਤੇ Δr ਤੇ Δt ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ${\displaystyle s^{2}}$ ਲਈ ਚਿੰਨਾ ਦੀ ਪਸੰਦ ਸਪੇਸ-ਲਾਈਕ ਕਨਵੈਨਸ਼ਨ (-+++) (ਸਪੇਸ-ਵਰਗੀ ਪ੍ਰੰਪਰਾ) ਨੂੰ ਅਪਣਾ ਕੇ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ${\displaystyle \Delta r^{2}\,}$ ਵਰਗੇ ਚਿੰਨਾਂ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ${\displaystyle (\Delta r)^{2}\,}$ | ${\displaystyle s^{2}}$ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ${\displaystyle s}$ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ, ਇਸਦਾ ਕਾਰਣ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ${\displaystyle s^{2}}$ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ, 0 ਜਾਂ ਨੈਗੈਟਿਵ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਇੰਟਰਵਲਾਂ (ਅੰਤਰਾਲਾਂ) ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਟਾਇਮ-ਲਾਈਕ, ਲਾਈਟ-ਲਾਈਕ ਜਾਂ ਸਪੇਸ-ਲਾਈਕ, ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਕਤੀ ਦੂਰੀ (${\displaystyle c^{2}\Delta t^{2}}$) ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) (${\displaystyle \Delta r^{2}}$) ਦੂਰੀ ਵੱਡੀ ਹੈ

ਸੰਸਾਰ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀਆਂ ਜੀਓਡੈਸਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ- ਜੋ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਇਸਦੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾ ਵਾਲੀਆਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਟਾਈਮ-ਲਾਈਕ ਰਸਤਿਆਂ ਦੇ ਮਾਲੇ ਵਿੱਚ, ਜੀਓਡੈਸਿਕਸ (ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ) ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਰਸਤੇ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਨਾਪੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ) ਦੂਰੀ ਵਾਲਾ ਰਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਵਿੱਚ, ਜੋੀਓਡੈਸਿਕਸ ਰਸਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੂਰੀ^[4][5] ਵਾਲਾ ਰਸਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਓਡੈਸਿਕਸ ਦਾ ਸੰਕਲਪ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰੀ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ “ਸ਼ੁੱਧ ਗਤੀ” (ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਗਤੀ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੋਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਅਜਿਹੀ ਗਤੀ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਾਹਰੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ

ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾਈ (ਡਾਇਰੈਕਸ਼ਨਲ) ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਸਰਵਸਧਾਰਨ ਕਰਨ) ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇੱਕ ਕਨੂੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇਨਪੁੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: (1) ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ u (ਜਿਸਦੇ ਨਾਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਅਤੇ (2) ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਗਵਾਂਢ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v। ਬਿੰਦੂ P ਉੱਤੇ ਹੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਤੋਂ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸ਼ੁੱਧ ਸਮਝ ਅਨੁਸਾਰ, ਜਿਸ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਓਸ ਤੋਂ ਜਰੂਰ ਹੀ ਸੁਤੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ

ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਿਸੇ P ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਰਹੀ ਕਿਸੇ ਕਰਵ (ਵਕਰ) y ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ P ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। γ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ x ਲਈ, x ਉੱਤੇ v ਦੀ ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ x ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ v(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ v(0) = v ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ v ਇਸ ਜਰੂਰਤ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ γ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ v(x) ਦਾ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ 0 ਹੋਵੇ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕੌਂਸਟੈਂਟ (ਸਥਿਰ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਥਿਰਤਾ ਨਾਲ 0 ਹੋਵੇ।

ਕ੍ਰਿਸਟੋੱਫਲ ਸਿੰਬਲ

ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕ੍ਰਿਸਟੋੱਫਲ ਸਿੰਬਲ (ਚਿੰਨ) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵੈਕਟਰ ਕ੍ਰਿਸਟੋੱਫਲ ਸਿੰਬਲ ਦੀ ਕਈ ਵਾਰ ਵਰਤੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲੇਵੀ-ਸਿਵਿਟਾ ਕਨੈਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ 4-ਅਯਾਮੀ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ – ਜੋ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ – ਰਿੱਚੀ ਟੈਂਸਰ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਕ੍ਰਿਸਟੋੱਫਲ ਸਿੰਬਲ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਣਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀਆਂ ਕਿਰਣਾਂ ਦੇ ਰਸਤਿਆਂ ਦਾ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਿਸਟੋੱਫਲ ਸਿੰਬਲ ਸਪਸ਼ੱਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।

ਜੀਓਡੈਸਿਕਸ

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਕਿਸੇ “ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ” ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਤੱਕ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ (ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ) ਕਰਦੀ ਹੈ। ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਾਰੇ ਬਾਹਰੀ ਗੈਰ-ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੋਰਸ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਕਿਸੇ ਕਣ ਦੀ ਸੰਸਾਰ ਰੇਖਾ, ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਜਾਂ ਡਿੱਗ ਰਿਹਾ ਕਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਇੱਕ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਗਰੈਵਿਟੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਰਸ (ਬਲ) ਨਹੀਂ ਕਿਹਾ ਗਿਆ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ (ਕਰਵਡ) ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਸੋਮਾ ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ-ਟੈਂਸਰ (ਜਿਵੇਂ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਤਾਰੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦੇ ਕਿਸੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਰਸਤਾ, ਤਾਰੇ ਦੁਆਲੇ ਵਕਰਿਤ 4-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਦੀ ਜੀਓਡੈਸਿਕ ਦਾ 3-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਪਰਛਾਵਾਂ (ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਕਰਵ (ਵਕਰ) ਇੱਕ ਜੀਓਡੈਸਿਕ (ਜਿਓਡੈਸਿਕ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਰਵ ਦਾ ਟੇਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਵੈਕਟਰ, ਅਧਾਰ ਬਿੰਦੀ ਦੇ ਟੇਨਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ।

ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ

ਰੀਮਾੱਨ ਟੈਂਸਰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕੁ ਕਰਵੇਚਰ ਹੈ। ਟੈਂਸਰ ਨੂੰ ਸੁੰਗੜਾ ਕੇ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਚੀਜ਼ਾਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹਨ:

1. ਰੀਮਾੱਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ: ${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }}$, ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਬਾਰੇ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਟੈਂਸਰ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. ਰਿੱਚੀ ਟੈਂਸਰ: ${\displaystyle R_{\sigma \nu }}$, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ 2 ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ (ਲਿਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ) ਕਿਸੇ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਵਜੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੀਮਾੱਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ ਦੇ ਕੁੱਝ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਕੱਢ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ: R, ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਸਰਲਤਮ ਨਾਪ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਸਪੇਸ ਵਿਚਲੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਕੇਲਰ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰਿੱਚੀ ਟੈਂਸਰ ਦੀ ਔਸਤ ਕੱਢ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਰੀਮਾੱਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ ਨੂੰ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਟੈਂਸਰ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ਇੱਕ ਰੈਂਕ-2 ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾੱਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡਾਂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੂਚਕਾਂਕ-ਮੁਕਤ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ਰਿੱਚੀ ਟੈਂਸਰ ਹੈ, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਹੈ, ਅਤੇ ${\displaystyle R}$ ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ ਹੈ। ਇਹ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ (ਦਬਾਉ-ਊਰਜਾ ਟੈਂਸਰ)

ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ ਦੇ ਕੌਂਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਕੰਪੋਨੈਂਟ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ (ਕਦੇ ਕਦੇ ਇਸਨੂੰ ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ-ਮੋਮੈਂਟਮ ਟੈਂਸਰ ਜਾਂ ਐਨਰਜੀ-ਮੋਮੈਂਟਮ ਟੈਂਸਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਟੈਂਸਰ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਾਲੇ ਸਟ੍ਰੈੱਸ ਟੈਂਸਰ ਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਕਰਦੀ ਹੋਈ, ਐਨਰਜੀ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਦੀ ਡੈਂਸਿਟੀ ਅਤੇ ਫਲੱਕਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਦਾਰਥ, ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੋਰਸ ਫੀਲਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣ ਹੈ। ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸੋਮਾ ਹੈ, ਬਿਲਕੁਲ ਜਿਵੇਂ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਗਰੈਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੀ ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ ਦਾ ਸੋਮਾ ਮਾਸ ਡੈਂਸਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ (EFE) ਜਾਂ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀਆਂ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ (ਸਮੀਕਰਨਾਂ) ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਜਨਰਲ ਥਿਊਰੀ ਔਫ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ 10 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹਨ ਜੋ ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਐਨਰਜੀ^[6] ਰਾਹੀਂ ਵਕਰਿਤ ਹੋ ਰਹੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਮੁਢਲੀਆਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ (ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਇੰਟਰੈਕਸ਼ਨਜ਼) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। 1915^[7] ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਟੈਂਸਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਬਲਿਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਸਥਾਨਿਕ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਕਰਵੇਚਰ (ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਟੈਂਸਰ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ) ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਐਨਰਜੀ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਾਲ ਉਸ ਸਪੇਸਟਾਈਮ (ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ) ਅੰਦਰ ਬਰਾਬਰ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}$

ਜਿੱਥੇ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ਨੂੰ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਟੈਂਸਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ਨੂੰ ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ^[8] ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ (ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਟੈਂਸਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ) ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਐਨਰਜੀ (ਸਟ੍ਰੈੱਸ-ਐਨਰਜੀ ਟੈਂਸਰ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ) ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਹੱਲ ਅਤੇ ਬਲੈਕ ਹੋਲਾਂ

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਮੀਟ੍ਰਿਕ (ਇਸਨੂੰ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਵੈਕੱਮ ਜਾਂ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਹੱਲ/ਸਲਿਊਸ਼ਨ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਫਰੈਰੀਕਲ (ਗੋਲ) ਮਾਸ (ਪੁੰਜ) ਦੇ ਬਾਹਰ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਮਾਸ ਦਾ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਚਾਰਜ, ਮਾਸ ਦਾ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ, ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵ ਦਾ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਸਥਿਰਾਂਕ (ਯੂਨੀਵਰਸਲ ਕੌਸਮੌਲੌਜੀਕਲ ਕੌਂਸਟੈਂਟ) ਸਭ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ। ਇਹ ਹੱਲ ਧੀਮੀ ਗਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਘੁੰਮਦੀਆਂ ਅਸਟ੍ਰੋਨੌਮੀਕਲ (ਖਗੋਲਿਕ) ਵਸਤੂਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਈ ਤਾਰੇ ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਧਰਤੀ ਤੇ ਸੂਰਜ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈਲਾਭਕਾਰੀ ਸੰਖੇਪਤਾ (ਅਪ੍ਰੌਕਸੀਮੇਸ਼ਨ) ਹੈ। ਇਹ ਹੱਲ ਕਾਰਲ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ, ਜਿਸਨੇ 1916 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਹ ਹੱਲ ਛਾਪਿਆ।

ਬਿਰਖੌੱਫ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਫੈਰੀਕਲ ਸਮਿੱਟਰਿਕ, ਵੈਕੱਮ ਹੱਲ ਹੈ। ਇੱਕ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਬਲੈਕ ਹੋਲ ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਬਲੈਕ ਹੋਲ ਓਹ ਬਲੈਕ ਹੋਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਦਾ ਕੋਈ ਚਾਰਜ ਜਾਂ ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇੱਕ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਬਲੈਕ ਹੋਲ ਨੂੰ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਮੀਟ੍ਰੀਕ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮਾਸ (ਪੁੰਜ) ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਬਲੈਕ ਹੋਲ ਨਾਲੋਂ ਇਸਨੂੰ ਅਲੱਗ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ।

ਬਿਰਖੌੱਫ ਦੀ ਥਿਊਰਮ

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਬਿਰਖੌੱਫ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕੱਮ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਫੈਰੀਕਲੀ ਸਮਿੱਟਰਿਕ (ਗੋਲ-ਸਮਰੂਪ) ਹੱਲ ਜਰੂਰ ਹੀ ਸਥਿਰ ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟੀਕਲੀ (ਮਨਮਰਜੀ ਤੱਕ ਨਜ਼ਦੀਕ) ਫਲੈਟ (ਪੱਧਰਾ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਕਿਸੇ ਗੋਲ, ਨਾ-ਘੁੰਮਦੀ ਹੋਈ, ਗਰੈਵਿਟੀ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਬਾਹਰ ਦੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ) ਜਰੂਰ ਹੀ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ਚਿਲਡ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਥਿਊਰਮ 1923 ਵਿੱਚ ਜੀ.ਡੀ. ਬਿਰਖੌੱਫ (ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਥ ਬਿਰਖੌੱਫ ਥਿਊਰਮ, ਪੋਆਇੰਟਵਾਈਜ਼ ਅਰਗੋਡਿਕ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਲੇਖਕ, ਜੋ ਅਰਗੋਡਿਕ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੇ) ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਫੇਰ ਵੀ, ਸਟੈੱਨਲੇ ਡੇਜ਼ੇਰ ਨੇ ਤਾਜ਼ਾ ਸਮਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਦੋ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਨੌਰਵੀਅਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜੌਰਗ ਤੋਫਟੇ ਜੈਬਸੇਨ ਦੁਆਰਾ ਪਬਲਿਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।