Grupa kwaternionów
struktura algebraiczna złożona z ośmiu elementów / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Grupa kwaternionów – nieabelowa[1][2][3][4] grupa[5][6] multyplikatywna[2][7] rzędu 8[1][6][8], oznaczana symbolem [1][2][4][7][9][10] lub rzadziej [5][11][12][13][14] lub [5], składająca się z następujących elementów: [1][2][6] będących kwaternionami[2][11]. Generatorami tej grupy są kwaterniony oraz [2][4].
Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku[12]. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie[11].
Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej [5][7]. Określmy następujące macierze:
Wtedy zbiór tworzy grupę [7][9].
W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya[1][2][6][10][11][15]:
1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
−1 | −1 | 1 | −i | i | −j | j | −k | k |
i | i | −i | −1 | 1 | k | −k | −j | j |
−i | −i | i | 1 | −1 | −k | k | j | −j |
j | j | −j | −k | k | −1 | 1 | i | −i |
−j | −j | j | k | −k | 1 | −1 | −i | i |
k | k | −k | j | −j | −i | i | −1 | 1 |
−k | −k | k | −j | j | i | −i | 1 | −1 |
Podgrupami grupy kwaternionów są oraz [1]. Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne[1][3].
Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona[3][9].
Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego[11], a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego[16].