Operator zwarty
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte[1]. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.
Dla operatora liniowego przekształcającego przestrzeń Banacha w następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów[1].
- domknięcie obrazu jest zwarte w dla każdego zbioru ograniczonego w (tj. jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
- domknięcie obrazu jest zwarte w gdzie oznacza kulę jednostkową w
- obraz jest całkowicie ograniczony w dla każdego zbioru ograniczonego w
- dla każdego ograniczonego ciągu punktów przestrzeni ciąg zawiera podciąg zbieżny[2].