Prędkość ucieczki

Prędkość ucieczki (zwana też drugą prędkością kosmiczną^[2] oznaczana ${\displaystyle v_{II}}$) ciała niebieskiego – minimalna prędkość początkowa (startowa), jaką musi mieć obiekt, aby mógł opuścić pole grawitacyjne danego ciała niebieskiego, tj. aby trajektoria jego ruchu była krzywą otwartą (hiperbolą lub parabolą).

Prędkość ucieczki dla wybranych obiektów

Miejsce	Wartość [km/s]	W odniesieniu do grawitacji
„powierzchnia” Słońca	617,5	Słońca
powierzchnia Merkurego	4,4	Merkurego
orbita Merkurego	67,7	Słońca
powierzchnia Wenus	10,4	Wenus
orbita Wenus	49,5	Słońca
powierzchnia Ziemi	11,2	Ziemi
powierzchnia Księżyca	2,4	Księżyca
orbita Księżyca	1,4	Ziemi
orbita układu Ziemia-Księżyc	42,1	Słońca
powierzchnia Marsa	5,0	Marsa
orbita Marsa	34,1	Słońca
powierzchnia Jowisza	59,5	Jowisza
orbita Jowisza	18,5	Słońca
powierzchnia Saturna	35,5	Saturna
orbita Saturna	13,6	Słońca
powierzchnia Urana	21,3	Urana
orbita Urana	9,6	Słońca
powierzchnia Neptuna	23,5	Neptuna
orbita Neptuna	7,7	Słońca
powierzchnia Plutona	1,3	Plutona
orbita Plutona	6,7	Słońca
Układ Słoneczny	551[1]	Drogi Mlecznej
horyzont zdarzeń	299792,458 (prędkość światła w próżni)	czarnej dziury

Po wystartowaniu obiektu z prędkością równą prędkości ucieczki nie trzeba w dalszym ciągu dostarczać energii w celu podtrzymania ruchu (z wyjątkiem energii na pokonanie oporów ruchu, np. oporu atmosfery czy materii międzygwiezdnej), gdyż w miarę oddalania się obiektu od ciała niebieskiego wartość prędkości ucieczki maleje, dążąc do 0. Obiekt o początkowej prędkości równej prędkości ucieczki, pomimo ciągłego zmniejszania swojej prędkości wynikającego z poruszania się ruchem opóźnionym, w każdej chwili będzie miał prędkość równą prędkości ucieczki dla aktualnej odległości od ciała niebieskiego.

W praktyce prędkość startowa powinna być większa niż prędkość ucieczki lub powinno się dostarczać dodatkową energię w trakcie ruchu pozwalającą na pokonanie oporów materii. Jeśli jednak uwzględni się ruch obrotowy planety wokół własnej osi, można, wystrzeliwując rakietę z obszarów okołorównikowych, wykorzystać energię kinetyczną ruchu obrotowego do zmniejszenia prędkości startowej, podobnie jak to ma miejsce przy wprowadzaniu satelity na orbitę wokół planety. Właśnie z tego powodu wszystkie kosmodromy na Ziemi lokowane są na małych szerokościach geograficznych. Stąd też, ponieważ Europa leży daleko od równika, Europejska Agencja Kosmiczna wystrzeliwuje swoje rakiety z terytorium Gujany Francuskiej.

Prędkość ucieczki dla grawitacji Ziemi z jej powierzchni wynosi 11,2 km/s.

Wyznaczanie prędkości ucieczki

Prędkość ucieczki wynika z zasady zachowania energii mechanicznej. Ciało oddali się dowolnie daleko od ciała niebieskiego, gdy ma odpowiednio dużą prędkość, tak by jego prędkość w nieskończoności była równa 0. Energia mechaniczna ciała poruszającego się w polu grawitacyjnym jest sumą jego energii kinetycznej i potencjalnej oddziaływania grawitacyjnego:

${\displaystyle E_{m}=E_{k}+E_{p},}$

gdzie:

${\displaystyle E_{m}}$ – energia mechaniczna,

${\displaystyle E_{k}}$ – energia kinetyczna,

${\displaystyle E_{p}}$ – energia potencjalna.

Energia kinetyczna opisana jest równaniem:

${\displaystyle E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}},}$

Energię potencjalną wyraża wzór:

${\displaystyle E_{p}=-{\frac {GMm}{r}},}$

Z powyższych wzorów, po zastosowaniu zasady zachowania energii:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2}}v_{I}=c{\sqrt {{\frac {2GM}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}}}=c{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}},}$

gdzie:

${\displaystyle v}$ – prędkość początkowa obiektu będącego w odległości ${\displaystyle r}$ od środka ciała odniesienia,

${\displaystyle v_{I}}$ – pierwsza prędkość kosmiczna,

${\displaystyle r_{g}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ – promień Schwarzschilda,

${\displaystyle m}$ – masa,

${\displaystyle v}$ – prędkość,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle M}$ – masa ciała odniesienia,

${\displaystyle r}$ – odległość od środka ciała odniesienia.

Dla przykładu prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi można obliczyć, wiedząc, że:

${\displaystyle r=6378{,}14{\text{ km}},}$

${\displaystyle M=5{,}9736\cdot 10^{24}{\text{ kg}},}$

${\displaystyle G=6{,}6732(31)\cdot 10^{-11}{\text{ m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}.}$

Z powyższych wzorów i danych ciał niebieskich wynika:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\cdot 6{,}6732(31)\cdot 10^{-11}{\text{ m}}^{3}{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}\cdot 5{,}9736\cdot 10^{24}{\text{ kg}}}{6378140{\text{ m}}}}}=11{,}2{\frac {\text{km}}{\text{s}}}.}$

Gdy rozmiar ciała ${\displaystyle r}$ będzie równy promieniowi Schwarzschilda, prędkość ucieczki z niego będzie równa prędkości światła w próżni. Ciało takie nazywamy czarną dziurą.

Pierwszy raz drugą prędkość kosmiczną obliczył Izaak Newton.

Zobacz też

• prędkość kosmiczna